Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$ Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

Определение 2.1 Предел функции при $ x\rightarrow x_0$.
Элементы теории кривых Математика лекции примеры решения задач
Пусть $ y=f(x)$-- это функция вещественного переменного $ x$, определённая во всех точках интервала $ (a;b)$, кроме, быть может, точки $ x_0\in(a;b)$. Дадим определение предела величины $ y$ при условии, что $ x$ стремится к точке $ x_0$. Это условие кратко обозначается $ x\rightarrow x_0$. Стремление $ x$ к $ x_0$ означает, что при своём изменении $ x$ оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку $ x_0$, но не совпадает с $ x_0$, то есть значение $ \vert x-x_0\vert$ становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие $ x$ значения $ y=f(x)$ становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу $ y_0$, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа $ y_0$ можно указать, насколько близко $ x$ должен подойти к $ x_0$, чтобы значения $ y=f(x)$ уже попадали в эту окрестность числа $ y_0$. Тогда число $ y_0$ есть предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow x_0$, что записывается так:
$\displaystyle y_0=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x).$

Рис.2.1.Предел при $ x\to x_0$


Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки $ y_0$ (симметричная относительно $ y_0$) характеризуется её полушириной $ {\varepsilon}>0$, то есть имеет вид интервала $ (y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})$. Если значение $ y$ попало в такую $ {\varepsilon}$-окрестность, то это означает, что $ \vert y-y_0\vert<{\varepsilon}$. Любая окрестность точки $ x_0$, не содержащая самой точки $ x_0$ (и симметричная относительно $ x_0$),-- это объединение двух смежных интервалов $ {(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})\diagdown \{x_0\}}$. Попадание точки $ x$ в эту окрестность означает, что выполнено неравенство $ \vert x-x_0\vert<{\delta}$ и $ x\ne x_0$. Равенство $ y_0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ означает тогда, что
для любого, сколь угодно малого, числа $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое число $ {\delta}>0$ (зависящее от $ {\varepsilon}$), что при $ \vert x-x_0\vert<{\delta},\ x\ne x_0$ будет $ \vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}$.
При этом число $ y_0$ называется пределом функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow x_0$. Тот факт, что $ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=y_0$, записывают ещё в виде
$\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to x_0}y_0.$

Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)