Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.

Определение 11.2 Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Курс лекций математического анализа

Замечание 11.1 Из определения видно, что нормальный вектор у фиксированной плоскости определяется не однозначно. Все нормальные векторы одной плоскости коллинеарны друг другу и поэтому получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля.

Для того чтобы из параллельных плоскостей выбрать одну, достаточно задать точку, через которую проходит эта плоскость. Итак, если у плоскости известны нормальный вектор и точка, через которую она проходит, то плоскость определена однозначно.

Теорема 11.1 Пусть вектор $ {\bf n}=(A,B,C),\quad{\bf n}\ne0,$ является нормальным вектором плоскости $ \Pi$ , проходящей через точку $ M_0(x_0,y_0,z_0)$ . Тогда уравнение
$\displaystyle A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$(11.1)

является уравнением плоскости $ \Pi$ .
Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность

Доказательство. Пусть $ M(x,y,z)$ -- некоторая точка плоскости $ \Pi$ (рис.11.1). Иногда говорят "текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость.




Рис.11.1.


Вектор $ \overrightarrow {M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ лежит на плоскости $ \Pi$ . Следовательно, вектор $ \overrightarrow {M_0M}$ ортогонален вектору n. Если же взять точку $ Q$ , не лежащую на плоскости $ \Pi$ , то вектор $ \overrightarrow {M_0Q}$ не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (свойство 8, теорема 10.2), то условием того, что точка $ M$ лежит в плоскости $ \Pi$ , является выполнение равенства

$\displaystyle {\bf n}\cdot\overrightarrow {M_0M}=0.$(11.2)
Вычислить тройной интеграл , гдеПримеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле(10.1), получим формулу(11.1).

Пусть r -- радиус-вектор текущей точки $ M$ плоскости $ \Pi$ , $ {\bf r}_0$ -- радиус-вектор точки $ M_0$ . Тогда уравнение(11.2) можно переписать в виде

$\displaystyle {\bf n}\cdot({\bf r}-{\bf r}_0)=0.$

Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости $ \Pi$ .

Раскроем скобки в уравнении(11.1). Так как точка $ M_0$ -- фиксированная, то выражение $ -Ax_0-By_0-Cz_0$ является числом, которое обозначим буквой $ D$ . Тогда уравнение(11.1) принимает вид

$\displaystyle Ax+By+Cz+D=0.$(11.3)


Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов $ A,\,B,\,C$ отличен от нуля, так как $ {\bf n}\ne0$ .

Верно и обратное утверждение:

5.Высшая математика. Специальные главы (Методы линейной алгебры, математического анализа, теории вероятностей, математической статистики) под редакцией Розановой С.А., М., Физматлит, 2008. 6. Геворкян П.С. Высшая математика Т. 1-3 М., Физматлит, 2008. 7. Зимина О.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебный комплекс. МЭИ 2002. 8. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика. М., Физматлит, 2001. 9. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М., изд-во МГУ, 1998.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)