Уравнение плоскости Аналитическая геометрия

Теорема 11.2 Всякое уравнение(11.3), в котором , является уравнением плоскости, ортогональной вектору .

Доказательство. Условие означает, что хотя бы одно из чисел , отлично от нуля. Пусть это будет, например, число . Преобразуем уравнение(11.3) следующим образом:

По теореме 11.1 такое уравнение является уравнением плоскости с нормальным вектором n, проходящей через точку .

Теорема 11.1 позволяет написать уравнение плоскости, если известна точка этой плоскости и вектор, ортогональный плоскости. Однако, довольно часто встречаются задачи, где требуется получить уравнение плоскости, если известна точка, лежащая на ней, и два неколлинеарных вектора, лежащих или, что то же самое, параллельных плоскости. Покажем на примере, как решается такая задача.

Пример 11.1 Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной векторам и .

Решение. Векторное произведение по определению 10.26 ортогонально векторам p и q. Следовательно, оно ортогонально искомой плоскости и вектор можно взять в качестве ее нормального вектора. Найдем координаты вектора n:

то есть . Используя формулу(11.1), получим

Раскрыв в этом уравнении скобки, приходим к окончательному ответу.

Ответ: .