Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Теорема 11.2 Всякое уравнение(11.3), в котором $ \vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ , является уравнением плоскости, ортогональной вектору $ {\bf n}=(A,B,C)$ .

Доказательство. Условие $ \vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ означает, что хотя бы одно из чисел $ A,\,B,\,C$ , отлично от нуля. Пусть это будет, например, число $ B$ . Преобразуем уравнение(11.3) следующим образом:

$\displaystyle A(x-0)+B\left(y-\left(-\frac DB\right)\right)-C(z-0)=0.$

По теореме 11.1 такое уравнение является уравнением плоскости с нормальным вектором n, проходящей через точку $ M_0\left(0;-\frac DB; 0\right)$ . Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Курс лекций математического анализа

Теорема 11.1 позволяет написать уравнение плоскости, если известна точка этой плоскости и вектор, ортогональный плоскости. Однако, довольно часто встречаются задачи, где требуется получить уравнение плоскости, если известна точка, лежащая на ней, и два неколлинеарных вектора, лежащих или, что то же самое, параллельных плоскости. Покажем на примере, как решается такая задача.

Пример 11.1 Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку $ M_0(1,2,-2)$ и параллельной векторам $ {\bf p}=(1;2;-1)$ и $ {\bf q}=(-2;0;3)$ .
Решение. Векторное произведение $ {\bf p}\times {\bf q}$ по определению 10.26 ортогонально векторам p и q. Следовательно, оно ортогонально искомой плоскости и вектор $ {{\bf n}={\bf p}\times {\bf q}}$ можно взять в качестве ее нормального вектора. Найдем координаты вектора n:
$\displaystyle {\bf n}={\bf p}\times {\bf q}=\left\vert\begin{array}{rrr}{\bf i}... ...j}&{\bf k}\\ 1&2&-1\\ -2&0&3\end{array}\right\vert= 6{\bf i}-{\bf j}+4{\bf k},$
то есть $ {\bf n}=(6;-1;4)$ . Используя формулу(11.1), получим
$\displaystyle 6(x-1)+(-1)(y-2)+4(z-(-2))=0.$
Раскрыв в этом уравнении скобки, приходим к окончательному ответу. Свойства дифференцируемых функций Четыре теоремы о дифференцируемых функциях Правило Лопиталя
Ответ: $ 6x-y+4z+4=0$ .

 

5.Высшая математика. Специальные главы (Методы линейной алгебры, математического анализа, теории вероятностей, математической статистики) под редакцией Розановой С.А., М., Физматлит, 2008. 6. Геворкян П.С. Высшая математика Т. 1-3 М., Физматлит, 2008. 7. Зимина О.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебный комплекс. МЭИ 2002. 8. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика. М., Физматлит, 2001. 9. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М., изд-во МГУ, 1998.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)