Пределы Замена переменного и преобразование базы при такой замене Примеры

Пример 2.5 Пусть производится замена $t={\varphi}(x)=3x-2$ , где $x\to2$ . Здравый смысл подсказывает нам, что если

приближается к 2 и

, то значения

будут приближаться к $3\cdot2-2=4$ , то есть база $x\to2$ при такой замене переходит в базу $t\to4$ . Это, конечно, верный результат но не всё так просто, как покажут нам следующие два примера.

Пока что проверим формально результат, полученный нами с помощью интуитивных представлений о "стремлении". Пусть $E_{{\delta}}=(2-{\delta}2+{\delta})\diagdown \{2\}$ -- это произвольное окончание базы $x\to2$ . Посмотрим, во что это множество перейдёт при действии функции ${\varphi}(x)=3x-2$ . Поскольку эта линейная функция возрастает (её угловой коэффициент 3 положителен), то точки

будут лежать между теми, в которые переходят концы интервала, то есть между ${t_1={\varphi}(2-{\delta})=3(2-{\delta})-2=4-3{\delta}}$ и ${t_2={\varphi}(2+{\delta})=3(2+{\delta})-2=4+3{\delta}}$ , и не будут совпадать с ${t_0={\varphi}(2)=4}$ . Тем самым получили, что ${{\varphi}(E_{{\delta}})=(4-3{\delta}4+3{\delta})\diagdown \{4\}}$ . При произвольном ${{\delta}>0}$ получаем произвольную проколотую окрестность точки 4 с полушириной

: ${{\varphi}(E_{{\delta}})=E'_{{\delta}'}}$ . Очевидно, что набор множеств $E'_{{\delta}'}$ -- это база ${t\to4}$ , как мы и предполагали, исходя из интуитивных соображений.

Пример 2.6 Пусть производится замена

и $x\to0$ . Рассуждая, как в предыдущем примере, получаем, что, наверное,

тоже стремится к 0, то есть нужно рассматривать базу $t\to0$ . Это, однако, не вполне верно. Следующий чертёж показывает, что образами окончаний $E_{{\delta}}=(-{\delta}{\delta})\diagdown \{0\}$ базы $x\to0$ служат не проколотые окрестности точки

(являющиеся окончаниями базы $t\to0$ ), а интервалы $E'=(0,{\delta}')$ , где ${\delta}'={\delta}^2$ , примыкающие на оси

(если её расположить горизонтально) справа к точке

Набор таких интервалов образует правостороннюю базу $t\to0+$ , а не двустороннюю базу $t\to0$ , как мы поторопились предположить. В некоторых примерах разница между этими базами может быть существенной при вычислении предела.

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции