Пределы Замена переменного и преобразование базы при такой замене Примеры

Пример 2.7 Пусть производится замена $t={\varphi}(x)=x^2$ при базе $x\to1$ . Интуитивно ясно, что когда

приближается к1, то и

тоже будет приближаться к1, причём "ловушки" предыдущего примера здесь нет: так как при $x\geqslant 0$ функция

возрастает, то при

и близких к1 будет получаться

, близкое к1, а при

и близких к1 будет получаться

, близкое к1. Поэтому должна бы, вроде, при такой замене получиться база $t\to1$ . Однако и это не вполне так. Глядя на следующий чертёж, можно заметить, что образ окончания $(1-{\delta}1+{\delta})\diagdown \{1\}$ -- это множество

$\displaystyle ((1-{\delta})^2(1+{\delta})^2)\diagdown \{1\}=(1-2{\delta}+{\delta}^21)\cup(11+2{\delta}+{\delta}^2).$

Эти два интервала, примыкающие к точке 1 слева и справа, имеют разную длину: левый имеет длину $2{\delta}-{\delta}^2$ , а правый-- длину $2{\delta}+{\delta}^2$ , то есть левый короче правого на $2{\delta}^2$ .

Рис.2.15.График

и преобразование базы $x\to1$

Однако по определению базы $t\to1$ окончания этой базы состоят из пары примыкающих к точке 1 симметричных интервалов! Так что формально получилась не база $t\to1$ , а нечто на неё похожее, но не совсем то же самое.

На самом деле получившаяся в этом примере после замены база $\mathcal{B}'={\varphi}(\mathcal{B})$ эквивалентна базе $t\to1$ в смысле следующего определения.

Определение 2.8 Две базы $\mathcal{B}$ и $\mathcal{B}'$ назовём эквивалентными, если в любом окончании ${E\in\mathcal{B}}$ содержится некоторое окончание ${E'\in\mathcal{B}'}$ , и наоборот, в любом окончании ${E'\in\mathcal{B}'}$ содержится некоторое окончание ${E''\in\mathcal{B}}$ .

Базы ${\mathcal{B}=\{t\to1\}}$ и ${\mathcal{B}'={\varphi}(x\to1)}$ , рассмотренные в предыдущем примере, эквивалентны, так как любое несимметричное окончание базы $\mathcal{B}'$ , имеющее, как мы выяснили, вид ${E'=(1-2{\delta}+{\delta}^21)\cup(11+2{\delta}+{\delta}^2)}$ , содержится в симметричном окончании ${E=(1-2{\delta}-{\delta}^21)\cup(11+2{\delta}+{\delta}^2)}$ и содержит симметричное окончание ${E''=(1-2{\delta}+{\delta}^21)\cup(11+2{\delta}-{\delta}^2)}$ базы $\mathcal{B}$ .

Пределы, вычисленные по эквивалентным базам, совпадают, так что эквивалентные базы нет смысла отличать друг от друга. В этом мы убедимся, доказав следующую теорему.

Теорема 2.3 Пусть $\mathcal{B}$ и $\mathcal{B}'$ -- две эквивалентные базы, и существует ${\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$ . Тогда предел ${\lim\limits_{\mathcal{B}'}f(x)=L'}$ тоже существует, и .

Доказательство. Пусть фиксировано число ${\varepsilon}>0$ . Так как по предположению теоремы $\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ , то для этого ${\varepsilon}$ можно указать такое окончание базы $\mathcal{B}$ , при любом из которого будет $\vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ . Поскольку база $\mathcal{B}'$ эквивалентна базе $\mathcal{B}$ , найдётся окончание $E'\in\mathcal{B}'$ , такое что $E'\sbs E$ следовательно, $\vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ при любом $x\in E'$ . Значит, $\lim\limits_{\mathcal{B}'}f(x)=L$ , что и требовалось доказать.

Итак, вычисление пределов по эквивалентным базам даёт один и тот же результат, и в дальнейшем мы не будем различать эквивалентные базы, в том числе и при их обозначении. В частности, все базы, эквивалентные введённой выше базе $x\to x_0$ , мы будем тоже обозначать $x\to x_0$ , все базы, эквивалентные введённой выше базе $n\to\infty$ ,-- обозначать $n\to\infty$ , ит.п.

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции