Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Пример 2.12 Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и базу $ x\to+\infty$. Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную $ K=1$ и окончание базы $ E=(0;+\infty)$, тогда $ \vert f(x)\vert=\vert\sin x\vert\leqslant K=1$ при всех $ x\in E=(0;+\infty)$. Однако $ \sin x$ не имеет предела при $ x\to+\infty$: какое бы окончание $ (a;+\infty)$ ни взять, при $ x\in(a;+\infty)$ значения $ \sin x$ многократно изменяются от $ -1$ до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\sin x$ не существует: докажите, что при $ {\varepsilon}<1$ нельзя указать окончания базы $ E_{{\varepsilon}}=(a_{{\varepsilon}};+\infty)$, при всех $ x$ из которого при некотором $ L$ выполнялось бы неравенство $ \vert\sin x-L\vert<{\varepsilon}$. Такое окончание $ E_{{\varepsilon}}$ должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.) Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование. Курс лекций математического анализа
Поскольку предела $ \sin x$ при $ x\to+\infty$ не существует, то если сделать замену $ t=\dfrac{1}{x}$, получится, что предел $ \lim\limits_{t\to0+}\sin\frac{1}{t}$ также не существует. График функции $ \sin\frac{1}{x}$ представлен на следующем рисунке.
Рис.2.18.График $ y=\sin\frac{1}{x}$


График совершает бесконечно много колебаний при подходе $ x$ к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от $ -1$ до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, значения, равные $ -1$,-- в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, а значения, равные 0,-- в точках вида $ \dfrac{1}{k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$. Математика лекции примеры решения задач

Докажем теперь теорему о взаимосвязи локально ограниченных и бесконечно малых величин.

Теорема 2.7 Пусть $ \mathcal{B}$-- база, функция $ f(x)$ локально ограничена, а функция $ {\alpha}(x)$ бесконечно мала при этой базе. Тогда их произведение $ {\beta}(x)=f(x){\alpha}(x)$-- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

Доказательство. Так как $ f(x)$ локально ограничена при базе $ \mathcal{B}$, то $ \vert f(x)\vert\leqslant K$ при некотором $ K>0$ и всех $ x$ из некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$. Фиксируем произвольное число $ {\varepsilon}>0$ и рассмотрим положительное число $ {\varepsilon}_1=\dfrac{{\varepsilon}}{K}$. Так как $ {\alpha}(x)$-- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$, то найдётся такое окончание $ E_1\in\mathcal{B}$, что при всех $ x\in E_1$ выполняется неравенство $ \vert{\alpha}(x)\vert<{\varepsilon}_1=\dfrac{{\varepsilon}}{K}$. Рассмотрим теперь некоторое окончание $ E_2\sbs E_0\cap E_1$. (Такое окончание существует по определению базы.) Так как $ E_2$-- часть как $ E_0$, так и $ E_1$, то при $ x\in E_2$ выполняются одновременно неравенства $ \vert f(x)\vert\leqslant K$ и $ \vert{\alpha}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{K}$, из которых следует, что $ \vert f(x){\alpha}(x)\vert=\vert f(x)\vert\cdot\vert{\alpha}(x)\vert<K\dfrac{{\varepsilon}}{K}={\varepsilon}$ при всех $ x\in E_2$. Так как число $ {\varepsilon}>0$ было выбрано произвольно, это означает, что функция $ {\beta}(x)=f(x){\alpha}(x)$ является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$. С помощью дифференциала функции вычислить приближённо   при x = 7,76. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Пример 2.13 Пусть $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и $ f(x)=\sin x$. Так как $ {\alpha}(x)$ бесконечно мала, а $ f(x)$ локально ограничена при базе $ x\to\pm\infty$, то их произведение $ \dfrac{1}{x}\cdot\sin x=\dfrac{\sin x}{x}$-- бесконечно малая при $ x\to\pm\infty$, а также при $ x\to+\infty$ и при $ x\to-\infty$ (см.упражнение 2.4).
Рис.2.19.График $ y=\dfrac{\sin x}{x}$


Пример 2.14 В предыдущем примере сделаем замену $ t=\frac{1}{x}$. Тогда, очевидно, функция $ \dfrac{\sin x}{x}$ перейдёт в функцию $ t\sin\frac{1}{t}$, а базы $ x\to\pm\infty$, $ x\to+\infty$ и $ x\to-\infty$, соответственно, в базы $ t\to0$, $ t\to0+$ и $ t\to0-$. Значение предела $ \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$ при замене не изменится, так что $ \lim\limits_{t\to0}t\sin\frac{1}{t}=0.$
Рис.2.20.График функции $ t\sin\dfrac{1}{t}$


Следствие 2.2 Пусть $ C$-- постоянная и $ {\alpha}(x)$-- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$. Тогда $ C{\alpha}(x)$-- тоже бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

Доказательство. Достаточно заметить, что $ C$ локально ограничена при базе $ \mathcal{B}$ и сослаться на предыдущую теорему.

Следствие 2.3 Пусть $ {\alpha}_1(x),{\alpha}_2(x),\dots,{\alpha}_n(x)$-- бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$ и $ C_1,C_2,\dots,C_n$-- произвольные постоянные. Тогда величина вида
$\displaystyle {\beta}(x)=C_1{\alpha}_1(x)+C_2{\alpha}_2(x)+\ldots+C_n{\alpha}_n(x)$
является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$.

Доказательство. Чтобы доказать это следствие, достаточно заметить, что все слагаемые являются бесконечно малыми, согласно предыдущему следствию, а затем применить утверждение следствия 2.1.

Замечание 2.1 Утверждение доказанного следствия, с алгебраической точки зрения, означает, что множество $ \mathcal{L}^0_{\mathcal{B}}$ всех функций, определённых на некотором фиксированном окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и бесконечно малых при этой базе $ \mathcal{B}$, имеет структуру линейного пространства: любые элементы этого пространства можно умножать на постоянные и складывать, не выходя за рамки этого пространства.

5.Высшая математика. Специальные главы (Методы линейной алгебры, математического анализа, теории вероятностей, математической статистики) под редакцией Розановой С.А., М., Физматлит, 2008. 6. Геворкян П.С. Высшая математика Т. 1-3 М., Физматлит, 2008. 7. Зимина О.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебный комплекс. МЭИ 2002. 8. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика. М., Физматлит, 2001. 9. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М., изд-во МГУ, 1998.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)