Пределы Общие свойства пределов

Пример 2.15 Пусть $ f(x)=x^2$, $ g(x)=x$ и взята база $ \mathcal{B}=\{x\to0\}$. Тогда, очевидно, $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=0$, $ \lim\limits_{x\to0}g(x)=0$ и отношение пределов $ \dfrac{\lim\limits_{x\to0}f(x)}{\lim\limits_{x\to0}g(x)}$ не имеет смысла. При этом $ \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{x^2}{x}=x$ при $ x\ne0$ и предел отношения существует: $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to0}x=0$.

Оказывается, условия $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)\ne0$, которое обеспечивает то, что отношение пределов имеет смысл,-- этого условия достаточно для того, чтобы предел отношения двух функций был равен отношению их пределов. Ниже мы докажем соответствующую теорему, а пока докажем такое вспомогательное утверждение.

Лемма 2.1 Пусть при некоторой базе $ \mathcal{B}$ существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L\ne0$. Тогда функция $ h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ определена на некотором окончании этой базы и локально ограничена при этой базе.

Доказательство. Возьмём положительное число $ {\varepsilon}=\dfrac{\vert L\vert}{2}$. По определению предела, в базе $ \mathcal{B}$ найдётся такое окончание $ E$, что при всех $ x\in E$ будет $ \vert g(x)-L\vert<{\varepsilon}=\dfrac{\vert L\vert}{2}$. Это неравенство можно привести к виду

$\displaystyle -\dfrac{\vert L\vert}{2}+L<g(x)<\dfrac{\vert L\vert}{2}+L.$(2.2)


При $ L>0$ это неравенство означает, что $ \dfrac{L}{2}<g(x)<\dfrac{3L}{2}$; так как $ \dfrac{L}{2}>0$, то и $ g(x)>0$ при всех $ x\in E$ и, следовательно, функция $ h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ определена во всех точках окончания $ E$ и удовлетворяет неравенству

$\displaystyle 0<h(x)=\dfrac{1}{g(x)}<\dfrac{2}{L}.$
Заказать перевод

При $ L<0$ неравенство (2.2) означает, что $ -\dfrac{3\vert L\vert}{2}<g(x)<-\dfrac{\vert L\vert}{2}$; так как $ -\dfrac{\vert L\vert}{2}<0$, то и $ g(x)<0$ при всех $ x\in E$ и, опять-таки, функция $ h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ определена во всех точках окончания $ E$; она удовлетворяет неравенству

$\displaystyle -\dfrac{2}{\vert L\vert}<h(x)=\dfrac{1}{g(x)}<0.$

В любом случае получаем, что функция $ h(x)$ определена во всех точках $ x\in E$ и при этих $ x$ удовлетворяет неравенству $ \vert h(x)\vert<\dfrac{2}{\vert L\vert}$, что означает локальную ограниченность функции $ h(x)$ при базе $ \mathcal{B}$.

На основе этой леммы мы докажем обещанное выше утверждение о пределе отношения.

Теорема 2.10 Пусть при одной и той же базе $ \mathcal{B}$ существуют пределы $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1}$ и $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2}$, причём $ {L_2\ne0}$. Тогда функция $ h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ определена на некотором окончании базы $ \mathcal{B}$, существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$, и $ L=\dfrac{L_1}{L_2}$, то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя.

Доказательство. Представим отношение $ \dfrac{f(x)}{g(x)}$ в виде $ f(x)\cdot\dfrac{1}{g(x)}$, в котором и первый, и второй множители определены на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ (относительно второго множителя см.предыдущую лемму). Поэтому и исходное отношение имеет смысл при всех $ x\in E$.

Утверждение о том, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L_1}{L_2}$, эквивалентно тому, что разность $ {{\alpha}(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{L_1}{L_2}}$-- бесконечно малая величина. Приводя эту разность к общему знаменателю, получим, что $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{L_2}\cdot\dfrac{1}{g(x)}\cdot(L_2f(x)-L_1g(x))$. Величина $ \dfrac{1}{L_2}$-- постоянная и, следовательно (см.пример 2.11), локально ограничена; функция $ \dfrac{1}{g(x)}$-- тоже локально ограничена при базе $ \mathcal{B}$ (по предыдущей лемме). Значит, с учётом предложения 2.1 и теоремы 2.7, будет доказано, что величина $ {\alpha}(x)$ бесконечно малая, если мы покажем, что бесконечно мала при базе $ \mathcal{B}$ величина $ L_2f(x)-L_1g(x)$. Найдём предел этой величины. По свойству линейности предела ( следствие 2.5)

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}(L_2f(x)-L_1g(x))=L_2\lim_{\mathcal{B}}f(x)-L_1\lim_{\mathcal{B}}g(x)= L_2L_1-L_1L_2=0.$

Это означает, что величина $ L_2f(x)-L_1g(x)$ бесконечно мала.

Замечание 2.5 Как и в случае пределов суммы и произведения, можно сделать замечание (аналогичное замечаниям 2.2 и 2.3): если существует предел отношения, то пределы числителя и знаменателя, вообще говоря, существовать не обязаны. Приведите сами пример, иллюстрирующий это утверждение.


Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции