Пределы Общие свойства пределов

Пример 2.16 Найдём предел
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+3x-5}{3x^2-x+2}.$
Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень $ x$, то есть на $ x^2$, и получим предел
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2+\frac{3}{x}-\frac{5}{x^2}}% {3-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}.$
В этом пределе знаменатель стремится к 3, так как $ \frac{1}{x}\xrightarrow {x\to\infty}0$ и $ \frac{2}{x^2}=2\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\xrightarrow {x\to\infty}0$ (здесь мы применили теорему о пределе произведения для последнего слагаемого) и, следовательно, $ 3-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\xrightarrow {x\to\infty}3-0+0=3$ (здесь мы воспользовались линейностью предела). Поскольку предел знаменателя оказался не равен 0, то можно применить теорему о пределе отношения и получить, что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+3x-5}{3x^2-x+2}= \dfrac{\... ...its_{x\to\pm\infty}\left(2+\frac{3}{x}-\frac{5}{x^2}\right)} {3}=\dfrac{2}{3}.$

Предел числителя, равный 2, мы нашли аналогично пределу знаменателя, пользуясь линейностью предела.
Итак,
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+3x-5}{3x^2-x+2}=\dfrac{2}{3}.$

Заметим, что предел отношения многочленов оказался равен отношению коэффициентов при старшей степени $ x$, то есть, в данном случае, при $ x^2$.

Аналогично решаются и другие примеры на вычисление пределов отношения двух многочленов при $ x\to\infty$, а также пределов отношения некоторых других функций, например, связанных с корнями из многочленов.

Пример 2.17 Найдём предел
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}.$
Для этого поделим числитель и знаменатель дроби на $ x$ (под знаком корня в знаменателе для этого придётся поделить на $ x^2$):
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}= \li... ...to+\infty}\dfrac{1+e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}} {\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}.$
Поскольку $ \frac{1}{x^2}\xrightarrow {x\to+\infty}0$, то подкоренное выражение стремится к 4, а весь знаменатель-- к $ \sqrt{4}=2$. Предел знаменателя оказался отличен от 0, поэтому предел отношения равен отношению пределов. Найдём предел числителя. Поскольку $ e^{-\frac{1}{x}}<1$ при всех $ x>0$ (так как показатель степени отрицателен), то величина $ e^{-\frac{1}{x}}$ локально ограничена при базе $ x\to+\infty$ и поскольку величина $ \frac{1}{x}$-- бесконечно малая при этой базе, то произведение $ e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}$ также бесконечно мало, то есть стремится к 0 при $ x\to+\infty$. Значит, предел числителя равен
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}\right)=1+0=1,$
а исходный предел--
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}= \li... ...rac{1+e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}} {\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}=\dfrac{1}{2}.$


 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции