Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
        Определение 2.11   Первым замечательным пределом называется предел
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$
    
        Теорема 2.14   Первый замечательный предел равен $ 1:$
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.$

        Доказательство.     Рассмотрим два односторонних предела $ \lim\limits_{x\to0+}\dfrac{\sin x}{x}$ и $ \lim\limits_{x\to0-}\dfrac{\sin x}{x}$ и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$ также будет равняться 1.

Итак, пусть $ x\in(0;\frac{\pi}{2})$ (этот интервал -- одно из окончаний базы $ x\to0+$). В тригонометрическом круге (радиуса $ R=1$) с центром $ O$ построим центральный угол, равный $ x$, и проведём вертикальную касательную в точке $ U$ пересечения горизонтальной оси с окружностью ($ \vert OU\vert=1$). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона $ x$ с окружностью буквой $ V$, а с вертикальной касательной -- буквой $ W$; через $ T$ обозначим проекцию точки $ V$ на горизонтальную ось.
Задача Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах   Высшая математика Кратные интегралы примеры решения задач

Рис.2.27.Тригонометрический круг
Нахождение координат вектора в произвольном базисе Векторная алгебра

Пусть $ S_{\triangle OUV}$ -- площадь треугольника $ OUV$, $ S_{сек.OUV}$ -- площадь кругового сектора $ OUV$, а $ S_{\triangle OUW}$ -- площадь треугольника $ OUW$. Тогда очевидно следующее неравенство:

$\displaystyle S_{\triangle OUV}<S_{сек.OUV}<S_{\triangle OUW}.$
Заметим, что горизонтальная координата точки $ V$ равна $ \vert OT\vert=\cos x$, а вертикальная -- $ h=\sin x$ (это высота треугольника $ OUV$), так что $ S_{\triangle OUV}=\frac{1}{2}\vert OU\vert h=\dfrac{\sin x}{2}$. Площадь центрального сектора круга радиуса $ R$ с центральным углом $ x$ равна $ \frac{1}{2}R^2x$, так что $ S_{сек.OUV}=\frac{1}{2}x$. Из треугольника $ OUW$ находим, что $ \vert WU\vert=\mathop{\rm tg}\nolimits x$. Поэтому $ {S_{\triangle OUW}=\frac{1}{2}\vert OU\vert\vert WU\vert=\dfrac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{2}.}$ Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде
$\displaystyle \frac{\sin x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{2}.$ Изобразить на плоскости фигуру D. Вычислить массу пластины О с поверхностной плотностью распределения μ=μ(х, у). Рекомендуется использовать полярную систему координат. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:
$\displaystyle \frac{1}{\sin x}>\frac{1}{x}>\frac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits x}=\frac{\cos x}{\sin x},$
или (умножив на $ \sin x$) так:
$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$
Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при $ x\to0+$ предел $ \cos x$ в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части $ \dfrac{\sin x}{x}$ также будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что $ \cos x\xrightarrow {x\to0+}1$. Сперва заметим, что $ {0<\sin x=h<\vert UV\vert<x}$, так как $ x$ равняется длине дуги окружности $ UV$, которая, очевидно, длиннее хорды $ \vert UV\vert$. Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

$\displaystyle 0<\sin x<x$
при $ x\to0+$, получаем, что
$\displaystyle \sin x\xrightarrow {x\to0+}0.$(2.3)

Простая замена переменной $ t=\dfrac{x}{2}$ показывает, что и $ \sin\frac{x}{2}\xrightarrow {x\to0+}0$. Теперь заметим, что $ \cos x=1-2\sin^2\frac{x}{2}$. Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:
$\displaystyle \lim_{x\to0+}\cos x= \lim_{x\to0+}(1-2\sin^2\frac{x}{2})= 1-\lim_{x\to0+}\sin\frac{x}{2}\cdot \lim_{x\to0+}\sin\frac{x}{2}=1-0\cdot0=1.$(2.4)

Тем самым показано, что
$\displaystyle \lim_{x\to0+}\dfrac{\sin x}{x}=1.$
Сделаем теперь замену $ t=-x$; при этом база $ x\to0+$ перейдёт в базу $ t\to0-$ (что означает, что если $ x\in(0;{\delta})$, то $ t=-x\in(-{\delta};0)$). Значит,
$\displaystyle \lim_{t\to0-}\dfrac{\sin(-t)}{-t}=1,$
но $ \sin(-t)=-\sin t$ ($ \sin$ -- нечётная функция), и поэтому
$\displaystyle \lim_{t\to0-}\dfrac{\sin(-t)}{-t}=\lim_{t\to0-}\dfrac{\sin t}{t}=1.$
Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.     

Доказанная теорема означает, что график функции $ y=\dfrac{\sin x}{x}$ выглядит так:

Рис.2.28.График $ y=\dfrac{\sin x}{x}$

Приведём примеры применения первого замечательного предела для вычисления других родственных пределов.

      

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. Введение в математический анализ. Множества. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Отображения множеств. Мощность множества. Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Критерий Коши. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенствах. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)