Пределы Первый и второй замечательные пределы. Примеры

  Пример 2.18 Вычислим предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}$ .
Очевидно, что
$\displaystyle \frac{x}{\sin x}=\dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}},$
при этом предел знаменателя $\dfrac{\sin x}{x}$ -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}= \dfrac{\lim\limits_{x\to0}1}{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}}= \dfrac{1}{1}=1.$

        Пример 2.19 Вычислим предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}$ .
Сделаем замену переменного: пусть $y=\arcsin x$ . Тогда $x=\sin y$ и база $x\to0$ переходит в базу $y\to0$ . После замены получаем
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}= \lim\limits_{y\to0}\dfrac{\sin y}{y}=1.$

        Пример 2.20 Вычислим предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}$ .
Очевидно, что
$\displaystyle \frac{\arcsin x}{x}=\dfrac{1}{\dfrac{x}{\arcsin x}},$
при этом предел знаменателя $\dfrac{x}{\arcsin x}$ был вычислен в предыдущем примере; он равен 1. Числитель правой части имеет предел 1. Применяя теорему о пределе отношения, получаем
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}= \dfrac{\lim\limits_{x\to0}1}{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}}= \dfrac{1}{1}=1.$

        Пример 2.21 Вычислим предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$ .
Преобразуем функцию под знаком предела следующим образом:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}= \lim\limits_{x\to0} \left(\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot\dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot\dfrac{2}{3}\right).$
Теперь вынесем постоянный множитель за знак предела и применим теорему о пределе произведения:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}= \dfrac{2}{3} \lim\... ...s_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot.$
(Чуть ниже мы увидим, что пределы сомножителей существуют, так что применять эту теорему здесь можно.) Заметим, что при заменах и база $x\to0$ переходит в базу $t\to0$ и $y\to0$ , так что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{2x}= \lim\limits_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1$
и
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{\sin 3x}= \lim\limits_{y\to0}\dfrac{y}{\sin y}=1.$
Поэтому
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}= \dfrac{2}{3}\cdot1\cdot1=\dfrac{2}{3}.$

        Определение 2.12 Вторым замечательным пределом называется предел
$\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции