Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
Пример 2.36 Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}.$
Для этого заметим, что, как мы проверяли выше, $ x^2$-- величина большего порядка малости, чем $ \sin3x$. Аналогично проверяется, что $ 2x^3$-- величина большего порядка малости, чем $ \sin5x$. Поскольку слагаемые большего порядка малости можно отбросить, то
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{\sin5x}.$ Задача .Найти работу силы  при перемещении вдоль линии  от точки  к точке Высшая математика Кратные интегралы примеры решения задач
Далее, поскольку $ \sin3x$, очевидно, эквивалентен $ 3x$ (согласно первому замечательному пределу), а $ \sin5x$ эквивалентен $ 5x$, то последний предел можно упростить, заменив бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные им, а затем сократить на$ x$:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{\sin5x}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{5x}= \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{5}.$
При вычислении пределов часто бывают полезны также следующие два утверждения. Метод хорд (метод линейной интерполяции) Приближённое нахождение корней уравнений
Предложение 2.8 Пусть $ {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1(x)$ и $ \psi(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\psi_1(x)$. Тогда:
1) $ {\varphi}(x)\psi(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1(x)\psi_1(x)$
и
2) $ {\varphi}^m(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1^m(x)$ при любом $ m>0$ (в случае, если степень $ z^m$ определена только при $ z\geqslant 0$, нужно потребовать, чтобы выполнялось неравенство $ {\varphi}(x)\geqslant 0$.
(Заметим, что второе утверждение не следует из первого, поскольку $ m$-- не обязательно целое число.) Криволинейный интеграл первого рода Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Доказательство. Первое утверждение означает, согласно определению эквивалентности, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)\psi(x)}{{\varphi}_1(x)\psi_1(x)}=1,$
если известно, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}=1$
и
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{\psi_1(x)}=1.$
Но это сразу следует из теоремы о пределе произведения ( теорема 2.9).
Второе утверждение означает, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}^m(x)}{{\varphi}_1^m(x)}= \lim_{\mathcal{B}}\left(\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\right)^m=1,$
если известно, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}=1.$
Это следует из того, что степенная функция $ g(z)=z^m$ непрерывна при любом $ z=z_0$, если $ m>0$. Как отмечалось выше, для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предела:
$\displaystyle \lim_{z\to z_0}g(z)=g(\lim_{z\to z_0}z)=g(z_0).$
В случае степенной функции $ g(z)=z^m$, сделав замену переменного $ z=z(x)$ и связанную с ней замену базы, мы получим, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}z(x)^m=\left(\lim_{\mathcal{B}}z(x)\right)^m.$
Беря $ z(x)=\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}$, получаем, что
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\left(\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\righ... ...= \left(\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\right)^m=1^m=1,$
что и требовалось доказать.

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. Введение в математический анализ. Множества. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Отображения множеств. Мощность множества. Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Критерий Коши. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенствах. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)