Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Расстояние от точки до плоскости

Предложение 11.1 Пусть плоскость $ \Pi$ задана уравнением $ {Ax+By+Cz+D=0}$ и дана точка $ M_0 (x_0;y_0;z_0)$ . Тогда расстояние $ \rho$ от точки $ M_0$ до плоскости $ \Pi$ определяется по формуле
$\displaystyle \rho=\frac{\vert Ax_0+By_0+Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$(11.7)

Доказательство. Расстояние от точки $ M_0$ до плоскости$ \Pi$ -- это, по определению, длина перпендикуляра $ MK$ , опущенного из точки $ M_0$ на плоскость $ \Pi$ (рис.11.9).

Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости

Векторная алгебра

Вектор $ \overrightarrow {KM_0}$ и нормальный вектор n плоскости $ \Pi$ параллельны, то есть угол $ {\varphi}$ между ними равен 0 или $ \pi$ , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9.Задача Найти циркуляцию векторного поля  вдоль контура  (в направлении, соответствующем возрастанию параметра ) Высшая математика Кратные интегралы примеры решения задач Поэтому

$\displaystyle \vert{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}\vert=\vert{\bf n}\vert\vert\overrightarrow {KM_0}\vert\vert\cos{\varphi}\vert=\vert{\bf n}\vert\rho.$

Откуда

$\displaystyle \rho=\frac{\vert{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}\vert}{\vert{\bf n}\vert}.$(11.8)


Координаты точки $ K$ , которые нам неизвестны, обозначим $ x_1,\,y_1,\,z_1$ . Тогда $ \overrightarrow {KM_0}=(x_0-x_1;y_0-y_1;z_0-z_1)$ . Так как $ {{\bf n}=(A;B;C)}$ , то $ {{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)}$ . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим

$\displaystyle {\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=Ax_0+By_0+Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1).$ Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике (11.9)


Точка $ K$ лежит на плоскости $ \Pi$ , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: $ {Ax_1+By_1+Cz_1+D=0}$ . Отсюда находим, что $ {Ax_1+By_1+Cz_1=-D}$ . Подставив полученный результат в формулу(11.9), получим $ {{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=Ax_0+By_0+Cz_0+D}$ . Так как $ {\vert{\bf n}\vert= \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ , то из формулы(11.8) следует формула(11.7).

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. Введение в математический анализ. Множества. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Отображения множеств. Мощность множества. Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Критерий Коши. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенствах. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)