Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Пример 2.37 Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{5x}-e^{2x}}{\sin7x-\sin3x}$. Для этого в числителе вынесем за скобку $ e^{2x}$, а к знаменателю применим формулу $ {\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos\dfrac{{\alpha}+{\beta}}{2}\sin\dfrac{{\alpha}-{\beta}}{2}}$, где $ {\alpha}=7x$, $ {\beta}=3x$. Получим

Мы заменили на эквивалентную величину $ 3x$ (учтя при этом, что $ 3x\to0$ при $ x\to0$), $ \sin2x$ на эквивалентную величину $ 2x$ (учтя, что $ 2x\to0$ при $ x\to0$), затем сократили числитель и знаменатель на $ x$ и, наконец, воспользовались тем, что функции $ e^{2x}$ и $ \cos5x$ непрерывны и что $ e^0=1$ и $ \cos0=1$.

Пример 2.38 Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}.$
Заменим в числителе $ \sin^23x$ на эквивалентную величину $ (3x)^2$, а знаменатель $ {1-\cos x^2}$-- на эквивалентную величину $ \dfrac{(x^2)^2}{2}$. После этого можно будет сократить дробь на $ x^4$ и получить ответ: Задача Найти расстояние от точки  до плоскости, проходящей через три точки Высшая математика Кратные интегралы примеры решения задач
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}= \lim_{x\to0}\dfrac{x^2\cdot(3x)^2}{\dfrac{(x^2)^2}{2}}= \lim_{x\to0}\dfrac{9x^4}{\dfrac{x^4}{2}}=18.$

Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе $ x\to0$. Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах $ x\to0+$ и $ x\to0-$. Если же рассматриваемый пример содержит неопределённость вида $ \left[\dfrac{0}{0}\right]$ при какой-либо другой базе, то часто предел можно свести к пределу при "стандартной" базе $ x\to0$ (или $ x\to0+$, или $ x\to0-$) с помощью подходящей замены переменной, а затем воспользоваться табличными эквивалентностями. Цилиндрическая и сферическая системы координат Системы координат

Пример 2.39 Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}$.
Если сделать замену $ t=x-\pi$, то при $ x\to\pi$ новая переменная $ t$ будет, очевидно, стремиться к 0, то есть база $ x\to\pi$ перейдёт при такой замене в "стандартную" базу $ t\to0$. Подставляя $ x=t+\pi$ и учитывая формулу приведения для косинуса, получаем:
$\displaystyle \lim_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}= \lim_{t\to0}\dfrac{1+... ...0}\dfrac{1-\cos t}{t^2}= \lim_{t\to0}\dfrac{\dfrac{t^2}{2}}{t^2}=\dfrac{1}{2}.$
Мы применили табличную формулу $ 1-\cos t\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{t\to0}}\dfrac{t^2}{2}$, а затем сократили дробь на $ t^2$ и получили ответ. Вычислить криволинейный интеграл первого рода Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины.

Пример 2.40 Можно, например, получить следующую формулу:
\begin{multline*} e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\lim... ...p{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{(\sqrt{x})^2}{2}= \dfrac{x}{2}. \end{multline*}

Здесь мы последовательно воспользовались формулами
$\displaystyle e^{\alpha}-1\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{{\alpha}\to0}}{\alpha}... ...1-\cos{\delta}\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{{\delta}\to0}}\frac{{\delta}^2}{2}$
и учли, что величины $ {\alpha}=\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}$, $ {\beta}=\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}$, $ {\gamma}=\cos\sqrt{x}-1$, $ {\delta}=\sqrt{x}$ являются бесконечно малыми при $ x\to0+$.
Используя полученную в результате эквивалентность
$\displaystyle e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{x}{2},$
мы можем, например, вычислить предел

Предел и непрерывность функции действительной переменной. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация. Сравнение функций. Символы о и 0. Эквивалентные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения. Теорема об обратной функции.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)