Основные задачи на прямую и плоскость Аналитическая геометрия

Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.
Пример 11.6 Найдите точку , симметричную точке относительно прямой ${\gamma}$ :

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ x-y-z=2.\end{array}\right.$ (11.16)

Решение. Найдем сначала проекцию точки на прямую ${\gamma}$ (рис 2.14).

Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой

Для этого напишем уравнение плоскости $\Pi$ , проходящей через точку и перпендикулярной прямой ${\gamma}$ , а затем найдем точку , являющуюся точкой пересечения плоскости и прямой.
Заметим, что плоскость, перпендикулярная прямой ${\gamma}$ , параллельна нормальным векторам ${\bf n}_1$ и ${\bf n}_2$ плоскостей, соответствующих уравнениям в системе(11.16). Поэтому нормальный вектор n плоскости, перпендикулярной прямой ${\gamma}$ , можно взять равным ${\bf n}_1\times {\bf n}_2$ : ${{\bf n}_1=(1;1;0)}$ , ${{\bf n}_2=(1;-1;-1)}$ ,

$\displaystyle {\bf n}={\bf n}_1\times {\bf n}_2=\left\vert\begin{array}{rrr}{\b... ...j}&{\bf k}\\ 1&1&0\\ 1&-1&-1\end{array} \right\vert=-{\bf i}+{\bf j}-2{\bf k}.$
Уравнение плоскости $\Pi$ : , то есть .
Находим точку :

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x+y=1,\\ x-y-z=2,\\ -x+y-2z+5=0.\end{array}\right.$
Решение этой системы: ; ; , .
Пусть -- искомая точка. Тогда из рис. 11.14 видно, что ${\overrightarrow {MM_1}=2\overrightarrow {MM_0}}$ . Находим ${\overrightarrow {MM_1}=(x-1;y+2;z-1)}$ , ${\overrightarrow {MM_0}=(1;1;0)}$ . Тогда

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x-1=2,\\ y+2=2,\\ z-1=0,\end{array}\right.$
откуда , , .
Ответ: .

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции