Определение непрерывности функции Примеры

Пример 3.1 Пусть $f(x)=\sqrt{\vert x\vert}$ и

. Тогда $\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\sqrt{\vert x\vert}=0$ и ${f(0)=\sqrt{0}=0}$ . Эти значения совпадают, значит, функция

непрерывна в точке

(Функция $f(x)=\sqrt{\vert x\vert}=(x^2)^{\frac{1}{4}}$ -- элементарная функция;

-- точка её области определения . Все элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своих областей определения, в том числе и эта. Так что в этом примере можно было бы заменить

$\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$ любой элементарной функцией, а

-- любой внутренней точкой области $\mathcal{D}(f)$ , и вывод остался бы тем же.)

Пример 3.2 Рассмотрим функцию $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\sin x}{x},&\mbox{при }x\ne0;\\ 1,&\mbox{при }x=0\end{array}\right.$ и точку ${x_0=0}$ . При ${x\ne0}$ функция задаётся формулой ${f(x)=\dfrac{\sin x}{x}}$ , при этом имеем ${\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1}$ (первый замечательный предел). Это значение совпадает с тем, которое задано при

. Итак, $\lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)=1$ , что означает непрервыность функции

при

Тем, кто внимательно изучил данное в главе 2 общее понятие базы предела, можно предложить продумать и доказать следующее утверждение:

Предложение 3.2 Пусть $\mathcal{B}(x_0)$ -- база непроколотых окрестностей точки , окончаниями которой служат интервалы $(x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ , ${\delta}>0$ ; $\mathcal{B}(x_0-)$ -- база непроколотых левых окрестностей точки , окончаниями которой служат полуинтервалы $(x_0-{\delta};x_0]$ , ${\delta}>0$ ; $\mathcal{B}(x_0+)$ -- база непроколотых правых окрестностей точки , окончаниями которой служат полуинтервалы $[x_0;x_0+{\delta})$ , ${\delta}>0$ . Тогда непрерывность функции в точке эквивалентна тому, что существует предел $\lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)}f(x)$ ; непрерывность слева в точке -- тому, что существует предел $\lim\limits_{\mathcal{B}(x_0-)}f(x)$ ; непрерывность справа в точке -- тому, что существует предел $\lim\limits_{\mathcal{B}(x_0+)}f(x)$ .

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции