Непрерывность функций Определение точек разрыва Примеры

      Пример 3.5 Функция $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при разрыв второго рода, так как $f(x)\to+\infty$ при $x\to0+$ и $x\to0-$ .

Рис.3.7.График функции $f(x)=\frac{1}{x^2}$

        Пример 3.6 Возьмём $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ . Все точки области определения $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$ этой элементарной функции являются точками непрерывности. Поскольку не входит в область определения функции , но определена во всех точках любой проколотой окрестности 0, то 0 -- точка разрыва функции . Разобранный выше пример 3.2 показывает, что если доопределить эту функцию при , положив , то функция становится непрерывной в точке 0. Значит, 0 -- точка разрыва первого рода для функции $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ .

Рис.3.8.Устранимый разрыв функции $\frac{\sin x}{x}$

        Пример 3.7 Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ . Её область определения ${\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}}$ состоит из точек непрерывности, так как это элементарная функция. Точка ${x_0=0}$ , в которой функция не определена, -- это точка разрыва функции. Поскольку ${-\dfrac{1}{x^2}\to-\infty}$ при ${x\to0}$ , то ${\lim\limits_{x\to0}f(x)=0}$ . Это означает, что при функция имеет устранимый разрыв и становится непрерывной на всей вещественной оси, если положить .

Рис.3.9.Устранимый разрыв функции $e^{-\frac{1}{x^2}}$

        Пример 3.8 Рассмотрим функцию $f(x)=x^n\sin\frac{1}{x}$ , где $n\in\mathbb{N}$ . При она имеет разрыв, так как $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$ . Поскольку $\sin\frac{1}{x}$ -- ограниченная функция, а $x^n\to0$ при $x\to0$ , то $\lim\limits_{x\to0}=0$ (по теореме 2.7). Следовательно, разрыв устранимый, и если доопределить функцию, положив , она становится непрерывной при всех $x\in\mathbb{R}$ .

Рис.3.10.График функции $y=x^n\sin\frac{1}{x}$ при

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции