Эллипс Кривые и поверхности второго порядка

 

   Предложение 12.1   Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси $ Ox$ и $ Oy$ , начало координат -- центр симметрии.

        Доказательство.     Можно было бы провести доказательство на основе определения эллипса (предлагаем читателю попробовать сделать это), но для усиления аналитического аспекта мы проведем доказательство на основе уравнения (12.4).

Пусть эллипс задан уравнением (12.4) и $ M_1(x_1;y_1)$  -- какая-то точка эллипса. Тогда

$\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1.$(12.6)
 


Точка $ M_2(-x_1;y_1)$ является точкой, симметричной точке $ M_1$ относительно оси $ Oy$ (рис. 12.4).

Рис.12.4.Симметрия точек


Вычисляем значение левой части уравнения (12.4) в точке $ M_2$

$\displaystyle \frac{(-x_1)^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}.$

В силу равенства (12.6) получаем

$\displaystyle \frac{(-x_1)^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,$

следовательно, точка $ M_2$ лежит на эллипсе. Точка $ M_3(x_1;-y_1)$ является точкой симметричной точке $ M_1$ относительно оси $ Ox$ (рис. 12.4). Для нее аналогичным путем убеждаемся, что

$\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{(-y_1)^2}{b^2}=1,$

то есть $ M_3$ является точкой эллипса. Наконец точка $ M_4(-x_1;-y_1)$ является симметричной точке $ M_1$ относительно начала координат (рис. 12.4). Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что и эта точка тоже лежит на эллипсе. Итак, утверждение предложения доказано, если эллипс имеет уравнение (12.4). А так как по теореме 12.2 любой эллипс в некоторой системе координат имеет такое уравнение, то предложение полностью доказано.     

Проведем построение эллипса, заданного уравнением (12.4). Заметим, что из-за симметрии достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой линии мы получим, выразив $ y$ из уравнения (12.4) и взяв перед корнем знак "$ +$ ",

$\displaystyle y=\frac ba\sqrt{a^2-x^2}.$

Построим график этой функции. Область определения -- отрезок $ [-a;a]$ , $ y(0)=b$ , при увеличении переменного $ x$ от 0 до $ a$ функция монотонно убывает. В силу симметрии графика относительно оси $ Oy$ функция $ y$ монотонно растет при изменении $ x$ от $ -a$ до 0. Производная $ y'=-\dfrac ba\dfrac x{\sqrt{a^2-x^2}}$ определена во всех точках интервала $ (a;b)$ и, следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой точке). Вторая производная $ y''=\dfrac{-ab}{\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)^3}$ отрицательна во всех точках интервала $ (a;b)$ , следовательно, график -- выпуклый вверх.

Осталось не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка $ [-a;a]$ . Выразим из уравнения (12.4) переменное $ x$ через $ y$ : $ x=\dfrac ab\sqrt{b^2-y^2}$ . Очевидно, что в точке $ y=0$ эта функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точке $ (a,0)$ существует. Легко проверить, что она параллельна оси $ Oy$ . Из симметрии эллипса делаем вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных (рис. 12.5).

Рис.12.5.Эллипс

     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Платформу клиент-сервер | ActiveX-компоненты | Базы данных | Конструктор форм | Электро | ТОЭ | Linux | Интегралы | Лекции физика | Windows 2003 | Архитектура ЭВМ | Рисунок | Световые волны | Операционные системы
Pascal | Эксперт | Учебник Java | Кодирование | Пефирия ПК | Информатика | Сети | Моделирование | Язык SQL Расчет надежности | Задачи