Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

   Предложение 12.1   Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси $ Ox$ и $ Oy$ , начало координат -- центр симметрии.

        Доказательство.     Можно было бы провести доказательство на основе определения эллипса (предлагаем читателю попробовать сделать это), но для усиления аналитического аспекта мы проведем доказательство на основе уравнения (12.4).

Пусть эллипс задан уравнением (12.4) и $ M_1(x_1;y_1)$  -- какая-то точка эллипса. Формула Тейлора Некоторые вопросы элементарной математики примеры решения задач Тогда

$\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1.$(12.6)
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов


Точка $ M_2(-x_1;y_1)$ является точкой, симметричной точке $ M_1$ относительно оси $ Oy$ (рис. 12.4).

Рис.12.4.Симметрия точек


Вычисляем значение левой части уравнения (12.4) в точке $ M_2$

$\displaystyle \frac{(-x_1)^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}.$

В силу равенства (12.6) получаем

$\displaystyle \frac{(-x_1)^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,$ Вычислить определитель . Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю

следовательно, точка $ M_2$ лежит на эллипсе. Точка $ M_3(x_1;-y_1)$ является точкой симметричной точке $ M_1$ относительно оси $ Ox$ (рис. 12.4). Для нее аналогичным путем убеждаемся, что

$\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{(-y_1)^2}{b^2}=1,$

то есть $ M_3$ является точкой эллипса. Наконец точка $ M_4(-x_1;-y_1)$ является симметричной точке $ M_1$ относительно начала координат (рис. 12.4). Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что и эта точка тоже лежит на эллипсе. Итак, утверждение предложения доказано, если эллипс имеет уравнение (12.4). А так как по теореме 12.2 любой эллипс в некоторой системе координат имеет такое уравнение, то предложение полностью доказано.     

Проведем построение эллипса, заданного уравнением (12.4). Заметим, что из-за симметрии достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой линии мы получим, выразив $ y$ из уравнения (12.4) и взяв перед корнем знак "$ +$ ",

$\displaystyle y=\frac ba\sqrt{a^2-x^2}.$

Построим график этой функции. Область определения -- отрезок $ [-a;a]$ , $ y(0)=b$ , при увеличении переменного $ x$ от 0 до $ a$ функция монотонно убывает. В силу симметрии графика относительно оси $ Oy$ функция $ y$ монотонно растет при изменении $ x$ от $ -a$ до 0. Производная $ y'=-\dfrac ba\dfrac x{\sqrt{a^2-x^2}}$ определена во всех точках интервала $ (a;b)$ и, следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой точке). Вторая производная $ y''=\dfrac{-ab}{\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)^3}$ отрицательна во всех точках интервала $ (a;b)$ , следовательно, график -- выпуклый вверх.

Осталось не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка $ [-a;a]$ . Выразим из уравнения (12.4) переменное $ x$ через $ y$ : $ x=\dfrac ab\sqrt{b^2-y^2}$ . Очевидно, что в точке $ y=0$ эта функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точке $ (a,0)$ существует. Легко проверить, что она параллельна оси $ Oy$ . Из симметрии эллипса делаем вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных (рис. 12.5).

Рис.12.5.Эллипс

     

Предел и непрерывность функции действительной переменной. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация. Сравнение функций. Символы о и 0. Эквивалентные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения. Теорема об обратной функции.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)