Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
 
      Теорема 3.9 (о достижении экстремума непрерывной функцией)   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$. Тогда существует точка $ x_*\in[a;b]$, такая что $ f(x_*)\leqslant f(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ (то есть $ x_*$ -- точка минимума: $ f(x_*)=\min\limits_{x\in[a;b]}f(x)$), и существует точка $ x_{**}\in[a;b]$, такая что $ f(x_{**})\geqslant f(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ (то есть $ x_{**}$ -- точка максимума: $ f(x_{**})=\max\limits_{x\in[a;b]}f(x)$). Иными словами, минимальное и максимальное значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках $ x_*$ и $ x_{**}$ этого отрезка. Построение графика функции с помощью свойств элементарных функций Комплексные числа примеры решения задач

Рис.3.24.Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума Тройной интеграл При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет. Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в трехмерном пространстве.

        Доказательство.     Так как по предыдущей теореме функция $ f(x)$ ограничена на $ [a;b]$ сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на $ [a;b]$ -- число $ K=\sup\limits_{x\in[a;b]}\{f(x)\}$. Тем самым, множества $ M_1=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-1\}$, $ {M_2=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-\frac{1}{2}\}}$,..., $ M_i=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-\frac{1}{i}\}$,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения $ x_i$: $ f(x_i\geqslant K-\frac{1}{i}$, $ i=1,2,\dots$. Эти $ x_i$ не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):

$\displaystyle x_1\leqslant x_2\leqslant x_3\leqslant \dots\leqslant x_i\leqslant \dots,$

и ограничены сверху числом $ b$. Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел $ \lim\limits_{i\to\infty}x_i=x_{**}.$ Так как $ f(x_i)\geqslant K-\frac{1}{i}$, то и

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x_{**})\geqslant \lim\limits_{i\to\infty}(K-\frac{1}{i})=K,$

по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть $ f(x_{**})\geqslant K$. Но при всех $ x\in[a;b]$ $ f(x)\leqslant K$, и в том числе $ f(x_{**})\leqslant K$. Отсюда получается, что $ f(x_{**})=K$, то есть максимум функции достигается в точке $ x_{**}$.

Аналогично доказывается существование точки минимума.     Имеются два пункта производства (A и B) некоторого вида продукции и три пункта (I, II, III) его потребления. В пункте А производится 250 единиц продукции, а в пункте В - 350 единиц. В пункте I требуется 150 единиц, в пункте II -240 единиц и в пункте III - 210 единиц. Стоимость перевозки одной единицы продукции из пункта производства в пункт потребления дается следующей таблицей.  

В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1+x,&\mbox{ при }x\in[-1;0);\\ 0,&\mbox{ при }x\in[0;1], \end{array}\right. $

на отрезке $ [-1;1]$. Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что $ \vert f(x)\vert\leqslant 1$) и $ \sup\limits_{x\in[-1;1]}\{f(x)\}=1$, однако значение 1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что $ f(0)=0$, а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке $ x=0$, так что при $ x\to0-$ предел $ f(x)$ не равен значению функции в точке 0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию $ f(x)=x$ на интервале $ (0;1)$. Очевидно, что функция непрерывна и что $ \inf\limits_{x\in(0;1)}=0$ и $ \sup\limits_{x\in(0;1)}=1$, однако ни значения 0, ни значения 1 функция не принимает ни в какой точке интервала $ (0;1)$. Рассмотрим также функцию $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ на полуоси $ [0;+\infty)$. Эта функция непрерывна на $ [0;+\infty)$, возрастает, принимает своё минимальное значение 0 в точке $ x=0$, но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом  $ \dfrac{\pi}{2}$ и $ \sup\limits_{x\in[0;+\infty)}f(x)=\dfrac{\pi}{2}).$

Заметим, что доказанная теорема не даёт практического способа находить точки минимума и максимума функции на заданном отрезке. Такой способ мы обсудим позднее, когда изучим понятие производной. Однако теорема важна тем, что даёт нам уверенность в том, что искомый экстремум существует и мы сможем его отыскать.

 

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)