Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Напомним, что непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ означает, что $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, то есть
$ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$
Тем самым непрерывность функции $ f$ на интервале или отрезке $ I\sbs\mathcal{D}(f)$ означает, что
$ \forall x_0\in I\ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$ Методы построения графика функции Комплексные числа примеры решения задач
При этом мы имеем право выбирать число $ {\delta}>0$ в зависимости от $ {\varepsilon}$ и, главное, от точки $ x_0\in I$.

Предположим теперь, что число $ {\delta}>0$ можно выбрать общим для всех $ x_0\in I$ (но, конечно, зависящим от $ {\varepsilon}$). Тогда говорят, что свойство функции быть непрерывной в точке $ x_0$ выполнено равномерно по $ x_0\in I$.

Дадим теперь такое

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

        Определение 3.5   Пусть $ f$ -- некоторая функция и $ I\sbs\mathcal{D}(f)$. Функция $ f$ равномерно непрерывна на $ I$, если
$ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x_0,x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$     

Приведём пример равномерно непрерывной функции.

        Пример 3.15   Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси $ \mathbb{R}$. Фиксируем число $ {\varepsilon}>0$ и положим $ {\delta}={\varepsilon}$. Выберем теперь любые две точки $ x$ и $ x_0$, такие что $ \vert x-x_0\vert<{\varepsilon}$, и покажем, что тогда $ {\vert\sin x-\sin x_0\vert<{\varepsilon}}$. Действительно,
$\displaystyle \vert\sin x-\sin x_0\vert=\left\vert 2\cos\dfrac{x+x_0}{2}\sin\df... ...left\vert\dfrac{x-x_0}{2}\right\vert= \vert x-x_0\vert\leqslant {\varepsilon},$   
 

так как, во-первых, $ \left\vert\cos\dfrac{x-x_0}{2}\right\vert\leqslant 1$ при всех $ x$ и $ x_0$ и, во-вторых, $ \vert\sin{\alpha}\vert\leqslant \vert{\alpha}\vert$ при всех $ {\alpha}\in\mathbb{R}$ (у нас $ {\alpha}=x-x_0$). Таким образом. равномерная непрерывность функции $ \sin$ доказана.     

Лучше изучить условие равномерности по $ x_0$ мы сможем, приведя пример, где оно нарушается. Пример . Вычислить . 

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)