Операции над векторами Векторная алгебра Теорема

Теорема 10.1 Для любых векторов ${\bf a},{\bf b},{\bf c}$ и любых вещественных чисел ${\alpha},{\beta}$ выполняются следующие свойства:
1) ${\bf a}+{\bf b}={\bf b}+{\bf a}$ (свойство коммутативности операции сложения);
2) $({\bf a}+{\bf b})+{\bf c}={\bf a}+({\bf b}+{\bf c})$ (свойство ассоциативности операции сложения);
3) ${{\bf a}}+0={\bf a}$ ;
4) ${{\bf a}+(- {\bf a})}=0$ ;
5) ${\alpha}({\beta}{\bf a})=({\alpha}{\beta}){\bf a}$ (свойство ассоциативности по отношению к числам);
6) ${\alpha}({\bf a}+{\bf b})={\alpha}{\bf a}+{\alpha}{\bf b}$ (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число);
7) $({\alpha}+{\beta}){\bf a}={\alpha}{\bf a}+{\beta}{\bf a}$ (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор;
8) $1\cdot{\bf a}={\bf a}$ .

Доказательство. Свойство 1 следует из того, что при сложении векторов по правилу параллелограмма (рис. 10.2) порядок слагаемых не влияет на построение параллелограмма. Доказательство свойства 2 следует из рисунка 10.5.

Свойства 3 и 4 очевидны при сложении векторов по правилу треугольника.

Докажем свойство 5. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, имеют одинаковую длину $\vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert$ . Если это произведение равно нулю, то векторы в правой и левой частях доказываемого равенства нулевые и, следовательно, равны друг другу. В противном случае векторы ${\alpha}({\beta}{\bf a})$ и $({\alpha}{\beta}){\bf a}$ коллинеарны вектору a и имеют с ним одинаковое направление, если числа ${\alpha}$ и ${\beta}$ одного знака, и направление, противоположное вектору a, если ${\alpha}$ и ${\beta}$ разного знака. Следовательно, ${{\alpha}({\beta}{\bf a})=({\alpha}{\beta}) {\bf a}}$ .

Свойство 6 очевидно, если ${{\alpha}=0}$ . Если ${\alpha}<0$ и векторы a и b неколлинеарны, то это свойство вытекает из подобия треугольников на рисунке 10.6.

Случаи, когда ${\alpha}>0$ или a и b коллинеарны, предоставляем проанализировать читателю самостоятельно.

Для доказательства свойства 7 заметим, что векторы ${{\bf f}=({\alpha}+{\beta}){\bf a}}$ и ${{\bf g}={\alpha}{\bf a}+{\beta}{\bf a}}$ коллинеарны. Без ограничения общности можно считать, что $\vert{\alpha}\vert\geqslant \vert{\beta}\vert$ (в противном случае поменяем местами ${\alpha}$ и ${\beta}$ в доказываемом равенстве).

Пусть ${\alpha}$ и ${\beta}$ одного знака. Тогда $\vert{\bf f}\vert=\vert{\alpha}+{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert= (\vert{\alpha}\vert+\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert$ , ${\bf g}=\vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert+\vert{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert= (\vert{\alpha}\vert+\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert$ .

Пусть ${\alpha}$ и ${\beta}$ имеют разные знаки. Тогда ${\vert{\bf f}\vert=(\vert{\alpha}\vert-\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert}$ , $\vert{\bf g}\vert=\vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert-\vert{\beta}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert=(\vert{\alpha}\vert-\vert{\beta}\vert)\vert{\bf a}\vert$ . Получили, что ${\vert{\bf f}\vert=\vert{\bf g}\vert}$ в обоих случаях.

Векторы f и g имеют одно направление. Оно совпадает с направлением a при ${\alpha}>0$ и противоположно при ${\alpha}<0$ . Следовательно, ${{\bf f}={\bf g} }$ . Свойство 7 доказано.

Свойство 8 очевидным образом вытекает из определения 10.9 произведения вектора на число.

Из свойства ассоциативности следует, что в сумме векторов, содержащей три и более слагаемых, можно скобки не ставить. Как найти сумму нескольких слагаемых, не используя попарных сумм, видно из рисунка 10.7.

Сформулируем еще несколько очевидных свойств операций сложения и умножения вектора на число:
9) равенство ${\alpha}{{\bf a}}=0$ верно тогда и только тогда, когда или ${{\alpha}=0}$ , или ${{\bf a}=0}$ ;
10) вектор, противоположный вектору a, равен $(-1)\cdot{\bf a}$ , то есть ${-{\bf a}=(-1)\cdot{\bf a}}$ ;
11) для любых векторов a и b существует такой вектор x, что ${{\bf a}+ {\bf x}={\bf b}}$ .

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции