Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
   Пример 12.6   Постройте параболу $ y^2=3x$ . Найдите ее фокус и директрису.
Решение. Уравнение является каноническим уравнением параболы, $ {2p=3}$ , $ {p=1.5}$ . Осью параболы служит ось $ Ox$ , вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси $ Ox$ . Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменному $ y$ и находим значения $ x$ . Возьмем точки $ \left(\frac13;1\right)$ , $ \left(\frac43;2\right)$ , $ (3;3)$ . Учитывая симметрию относительно оси $ Ox$ , рисуем кривую (рис. 12.17) Алгебраическая форма комплексного числа примеры решения задач



Рис.12.17.Парабола, заданная уравнением $ y^2=3x$
Фокус $ F$ лежит на оси $ Ox$ на расстоянии $ \frac p2$ от вершины, то есть имеет координаты $ (0.75;0)$ . Директриса $ l$ имеет уравнение $ {x=-\frac p2}$ , то есть $ x=-0.75$ .         

Парабола так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света (рис. 12.18). Свойство сформулируем опять без доказательства.

        Предложение 12.5   Пусть $ F$  -- фокус параболы, $ M$  -- произвольная точка параболы, $ l$  -- луч с началом в точке $ M$ параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке $ M$ делит угол, образованный отрезком $ FM$ и лучом $ l$ , пополам.     




Рис.12.18.Отражение светового луча от параболы

Найти экстремумы функции f(x) = 2x3 - 15x2+ 36x - 14. Решение. Так как f ¢ (x) = 6x2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x1 = 2 и x2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x1 = 2 и x2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса $ F$ , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.


Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)