Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Пусть $ f(x)$ -- функция, непрерывная на отрезке $ [a;b]$. Предположим, что $ f(x)$ монотонна на $ [a;b]$; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)<f(x_2)$. Тогда образом отрезка $ [a;b]$ будет отрезок $ [c;d]$, где $ c=f(a)$ и $ d=f(b)$ (действительно, непрерывная функция принимает любое промежуточное между $ f(a)$ и $ f(b)$ значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому существует обратная к $ y=f(x)$ функция $ {x={\varphi}(y)}$ функция, действующая из $ [c;d]$ в $ [a;b]$. Очевидно, что $ {\varphi}$ монотонно возрастает. (Если бы функция $ f$ была монотонно убывающей, то и обратная к ней функция $ {\varphi}$ тоже была бы монотонно убывающей.) Предел функции и непрерывность примеры решения задач

        Теорема 3.11   Пусть $ f$ -- непрерывная монотонная функция, $ \mathcal{D}(f)=[a;b]$, $ \mathcal{E}(f)=[c;d]$. Тогда обратная к $ f$ функция $ {\varphi}$ непрерывна на отрезке $ [c;d]$.
Вычисление определенного интеграла Вычисление объемов тел

        Доказательство.     Во-первых, заметим, что если $ x_1\ne x_2$, $ x_1,x_2\in[a;b]$, то $ {\vert f(x_2)-f(x_1)\vert=\vert y_2-y_1\vert>0}$.

Во-вторых, пусть $ 0<h<b-a$; рассмотрим функцию $ g_h(x)=f(x+h)-f(x)$, которая определена при $ x\in[a;b-h]$. Очевидно, что $ g_h$ -- непрерывная на $ [a;b-h]$ функция, поэтому она принимает наименьшее значение $ {\alpha}_h$ в некоторой точке $ \xi\in[a;b-h]$:

$\displaystyle \min\limits_{[a;b-h]}g_h(x)=g_h(\xi)=f(\xi+h)-f(\xi)={\alpha}_h>0.$
Таким образом, если $ \vert x_2-x_1\vert\geqslant h$, то $ \vert f(x_2)-f(x_1)\vert\geqslant {\alpha}_h$, то есть если $ \vert f(x_2)-f(x_1)\vert<{\alpha}_h$, то $ \vert x_2-x_1\vert<h$. Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числа $ {\varepsilon}(=h)>0$ найдётся число $ {\delta}(={\alpha}_h)>0$, такое что при $ \vert y_2-y_1\vert<{\delta}$ выполняется неравенство $ \vert{\varphi}(y_2)-{\varphi}(y_1)\vert<{\varepsilon}$. (При этом $ y_1=f(x_1)$, $ y_2=f(x_2)$, $ x_1={\varphi}(y_1)$, $ x_2={\varphi}(y_2)$.) Получили, что функция $ {\varphi}$ удовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке $ [c;d]$; тем самым доказано утверждение теоремы.      График параболы, заданной уравнением , не является графиком функции, поскольку прямая, параллельная оси , пересекает его в двух точках при всех значениях  , кроме Исследовать на четность и нечетность функцию . Построить график функции .

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)