Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
        Пример 3.17   Пусть функция $ f(x)$ определена на интервале $ (0;4)$ следующим образом:
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\in(0;... ...x,&\mbox{ если }x\in(2;3];\\ 2,&\mbox{ если }x\in(3;4). \end{array}\right. $
Найдём её область непрерывности и точки разрыва.
Поскольку внутри интервалов $ (0;1)$, $ (1;2)$, $ (2;3)$, $ (3;4)$ функция $ f(x)$ совпадает с ограничениями на эти интервалы элементарных функций $ \dfrac{1}{x}$, $ x^2$, $ 5-x$, 2 соответственно, то все эти интервалы входят в область непрерывности и точек разрыва там нет. Точками разрыва могут оказаться (но не обязательно окажутся!) лишь точки на стыках этих интервалов, то есть точки $ x=1$, $ x=2$, $ x=3$. Двухсторонние поверхности. Ориентация поверхности. Интегральное исчисление функций многих переменных примеры решения задач
Для выяснения того, непрерывна ли функция в точке $ x=1$, найдём пределы слева и справа:
$\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{1}=1;$
Вычисление статических моментов и моментов инерции. Геометрические и физические приложения кратных интегралов
$\displaystyle \lim_{x\to1+}f(x)=\lim_{x\to1+}x^2=1^2=1.$
При этом мы воспользовались тем, что как элементарная функция $ \dfrac{1}{x}$ (с областью определения $ \mathbb{R}\diagdown \{0\}$), так и элементарная функция $ x^2$ (с областью определения $ \mathbb{R}$) имеют $ x=1$ внутренней точкой своих областей определения, непрерывны в этой точке, и значения пределов можно найти прямой подстановкой. Поскольку пределы слева и справа в точке 1 совпали и, кроме того, $ f(1)=\dfrac{1}{1}=1$, то условия непрерывности в точке 1 выполнены; разрыва в этой точке нет.
Точно так же исследуем функцию на непрерывность в точке $ x=2$. Найдём пределы слева и справа:
$\displaystyle \lim_{x\to2-}f(x)=\lim_{x\to2-}x^2=2^2=4;$
$\displaystyle \lim_{x\to2+}f(x)=\lim_{x\to2+}(5-x)=5-2=3.$
Поскольку пределы слева и справа при $ x\to2$ существуют, но не совпадают, функция имеет разрыв первого рода при $ x=2$.
Теперь найдём пределы при $ x\to3-$ и $ x\to3+$:
$\displaystyle \lim_{x\to3-}f(x)=\lim_{x\to3-}(5-x)=5-3=2;$
$\displaystyle \lim_{x\to3+}f(x)=\lim_{x\to3+}2=2.$
Здесь пределы слева и справа совпадают между собой и со значением функции в точке 3: $ f(3)=5-3=2$. Значит, $ x=3$ -- точка непрерывности. Пример. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна: Решение. Будем находить ранги матриц A и `A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду
Итак, функция имеет единственную точку разрыва $ x=2$, в которой происходит неустранимый разрыв первого рода; область непрерывности функции состоит из объединения двух интервалов: $ (0;2)\cup(2;4)$.     

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)