Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
        Определение 13.4   Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,$(13.6)

где $ a$ , $ b$ , $ c$  -- положительные числа.         

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Задача Изменить порядок интегрирования Примеры решения задач типового расчета

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Это уравнение на плоскости $ xOy$ задает эллипс с полуосями $ a$ и $ b$ (рис. 13.8). Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$ Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах Вычислить длину дуги кривой

Это уравнение гиперболы на плоскости $ yOz$ , где действительная полуось равна $ b$ , а мнимая полуось равна $ c$ . Построим эту гиперболу (рис. 13.8).




Рис.13.8.Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями


Сечение плоскостью $ xOz$ также является гиперболой с уравнением

Найти область сходимости ряда. Радикальный признак Коши

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью $ yOz$ (рис. 13.9).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$ , $ h>0$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1+\dfrac{h^2}{c^2},\\ z=\pm h. \end{array}\right.$

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2\left(1+\frac{h^2}{c^2}\right)}+ \frac{y^2}{b^2\left(1+\frac{h^2}{c^2}\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.7)


где $ a_1=a\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}$ , $ b_1=b\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}$ . Уравнение (13.7) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости $ xOy$ , с коэффициентом подобия $ \sqrt{1+\frac {h^2}{c^2}}$ и полуосями $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.9).




Рис.13.9.Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений


Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рисунке 13.10.




Рис.13.10.Однополостный гиперболоид


Если в уравнении (13.6) $ {a=b}$ , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ (рис. 13.11).




Рис.13.11.Однополостный гиперболоид вращения


Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. Условия монотонности функции. Экстремум функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)