Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Определение 13.6 Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0,$

где $ a$ , $ b$ , $ c$ -- положительные числа.

Замечание 13.1 С математической точки зрения поверхность(13.10) лучше определять с помощью уравнения
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2,$(13.11)

так как в нем меньше параметров, но при этом, во-первых, теряется аналогия с уравнениями предыдущих поверхностей, а во-вторых, если считать, что величины $ a$ , $ b$ , $ x$ , $ y$ , $ z$ имеют размерность длины, то в уравнении(13.11) размерности правой и левой части не согласуются. Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка

Для краткости в дальнейшем конус второго порядка будем называть просто конус. Исследуем форму конуса. Так же, как эллипсоид и гиперболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения конуса найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0.$

Координаты только одной точки плоскости $ xOy$ могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle -\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$ Найти общий интеграл дифференциального уравнения 

Это уравнение пары прямых $ {z=\pm\frac cby}$ на плоскости $ yOz$ . Построим эти прямые (рис. 13.16). Сечение плоскостью $ xOz$ также является парой прямых с уравнением $ {z=\pm\frac cax}$ . Нарисуем и эти прямые (рис. 13.16).




Рис.13.16.Сечения конуса координатными плоскостями


Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$ , $ h>0$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{h^2}{c^2},\\ z=\pm h. \end{array}\right.$

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{\left(\frac{a^2h^2}{c^2}\right)}+ \frac{y^2}{\left(\frac{b^2h^2}{c^2}\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.12)


где $ a_1=\frac{ah}{c}$ , $ b_1=\frac{bh}{c}$ . Уравнение(13.12) является уравнением эллипса. Нарисуем полученные сечения (рис. 13.17).

Рис.13.17.Изображение конуса с помощью сечений


Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.18.

Рис.13.18.Конус
$ xOy$

Точка пересечения конуса с плоскостью $ xOy$ называется вершиной конуса.

Если в уравнении(13.10) $ {a=b}$ , то сечения конуса плоскостями параллельными плоскости являются окружностями. В этом случае поверхность называется прямым круговым конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ . Именно с таким конусом мы имеем дело в школьном курсе математики.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1. Геометрические векторы. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Определители второго и третьего порядка. Координатное выражение векторного и смешанного произведений.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)