Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Теорема 4.1 Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема (дифференцируема слева, дифференцируема справа) в точке $ x_0$. Тогда $ f(x)$ непрерывна (соотв. непрерывна слева, непрерывна справа) в этой точке $ x_0$.

Матрицы, операции над матрицами Примеры решения задач типового расчета

Доказательство. Из существования производной

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}= \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

следует, что

Геометрические и физические приложения кратных интегралов Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям

\begin{multline*} \lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))= \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x... ...ac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\lim_{x\to x_0}(x-x_0)= f'(x_0)\cdot0=0, \end{multline*}

откуда

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$

что и означает непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$.

Для доказательства теоремы в случае существования односторонних производных достаточно сменить базу $ x\to x_0$ на базу $ x\to x_0-$ или $ x\to x_0+$.

Правило расстановки пределов. В пределах внутреннего интеграла (интеграла по первой переменной) в общем случае стоят функции второй переменной.

Замечание 4.2 Предыдущий пример показывает, что обратное утверждение неверно: функция не обязательно имеет производную во всех тех точках, где она непрерывна. Действительно, функция $ f(x)=\vert x\vert$ непрерывна при $ x=0$, но не имеет производной в точке 0.
Более того, можно построить пример такой функции, которая непрерывна во всех точках числовой прямой, но не имеет производной ни в одной из этих точек.
Замечание 4.3 Заметим, что доказанная теорема гарантирует непрерывность функции, имеющей производную в точке $ x_0$, только в этой самой точке $ x_0$, но не на некотором интервале, окружающем $ x_0$. Примером функции, имеющей производную при $ x=0$, но разрывной при всех $ x\ne0$, служит функция
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ если }x\in\mathbb{Q},\\ x^2,&\mbox{ если }x\notin\mathbb{Q}. \end{array}\right. $
(Напомним, что через $ \mathbb{Q}$ обозначается множество всех рациональных чисел. Рациональные числа, как и иррациональные, плотно расположены на числовой оси $ \mathbb{R}$: между любыми двумя рациональными числами найдётся иррациональное число, а между двумя иррациональными-- рациональное.) Действительно, $ f(0)=0$; если $ h\ne0$-- рациональное число, то разностное отношение $ \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{0-0}{h}=0$, а если $ h\ne0$-- иррациональное, то $ \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{h^2-0}{h}=h$. И в том, и в другом случае разностное отношение стремится к 0 при $ h\to0$, так что существует производная $ f'(0)=0$. Однако, как нетрудно заметить, функция $ f(x)$ разрывна во всех точках $ x$, кроме $ x=0$.

Замечание 4.4 Заметим также, что даже если функция имеет производную на некотором интервале, окружающем точку $ x_0$, значение $ f'(x_0)$ может оказаться не равным пределу значений $ f'(x)$ при $ x\to x_0$, то есть производная $ f'$ может оказаться разрывной функцией. Примером такой функции с всюду существующей, но разрывной производной $ f'(x)$ может служить функция
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ если }x=0,\\ x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\ne0. \end{array}\right. $
Производная этой функции, как мы покажем ниже, равна
$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ если }x=0,\\ 2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\ne0. \end{array}\right. $
Нетрудно видеть, что эта функция имеет разрыв второго рода в точке 0, из-за слагаемого $ \cos\dfrac{1}{x}$, совершающего бесконечное число колебаний амплитуды 1 в любой, как угодно малой, окрестности точки 0.

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. Условия монотонности функции. Экстремум функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)