Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
        Определение 13.7   Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид
$\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2},$(13.13)
 
Системы координат в пространстве: декартовы, цилиндрические и сферические координаты Примеры решения задач типового расчета
где $ a$ и $ b$ -- положительные числа.         

Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости $ xOz$ , $ yOz$ и координатная ось $ Oz$ .

Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0.$

Координаты только одной точки плоскости $ xOy$ могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle z=\frac{y^2}{b^2}.$

Это уравнение параболы на плоскости $ yOz$ . Построим ее (рис. 13.19). Сечение плоскостью $ xOz$ также является параболой. Нарисуем и ее (рис. 13.19). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью $ {z=h}$ . Уравнения этой линии

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=h,\\ z=h. \end{array}\right.$ Площадь области, лежащей между двумя графиками Геометрические и физические приложения кратных интегралов

Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если $ {h=0}$ . Эта точка называется вершиной параболоида.

Пусть $ h>0$ . Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2h}+ \frac{y^2}{b^2h}=1,$

то есть к виду

Криволинейный интеграл второго рода Пусть по кривой MN, расположенной в плоскости хОу, движется материальная точка Р (х, у ), к которой приложена сила F , изменяющаяся по величине и направлению при перемещении точки. Физическая задача вычисления работы силы  при перемещении точки Р из положения М в положение N приводит к понятию криволинейного интеграла второго рода. Для этого кривая MN разбивается на п произвольных частей точками М=M1,M2,M3,…Mn=N

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.14)
 


где $ a_1=a\sqrt h$ , $ b_1=b\sqrt h$ . Уравнение (13.14) является уравнением эллипса. Нарисуем полученное сечение (рис. 13.19). При $ h<0$ плоскость поверхность не пересекает.




Рис.13.19.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями


Найдем сечения параболоида плоскостями $ z=\pm m$ , параллельными плоскости $ xOz$ . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{m^2}{b^2},\\ y=\pm m, \end{array}\right.$

и являются параболами, такими же, как в плоскости $ xOz$ , только сдвинутыми вверх на величину $ \frac{m^2}{b^2}$ , их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью $ yOz$ (рис. 13.20).




Рис.13.20.Дополнительные сечения параболоида


Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости $ xOz$ . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости $ xOz$ , а вершина скользила по параболе в плоскости $ yOz$ .

Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.21.




Рис.13.21.Эллиптический параболоид


Если в уравнении (13.13) $ {a=b}$ , то сечения плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ (рис. 13.22).




Рис.13.22.Параболоид вращения

 

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. Условия монотонности функции. Экстремум функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)