Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

        Определение 13.8   Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2},$
 

где $ a$ и $ b$ -- положительные числа.    Формулы производные интегралы Примеры решения задач типового расчета      

Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости $ xOz$ , $ yOz$ и координатная ось $ Oz$ .

Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0.$

Это уравнение определяет на плоскости $ xOy$ пару прямых $ {y=\pm\frac bax}$ , изображенных на рисунке 13.23. Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений Геометрические и физические приложения кратных интегралов

Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle z=-\frac{y^2}{b^2}.$

Это уравнение на плоскости $ yOz$ задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 13.23). Сечение плоскостью $ xOz$ также является параболой

$\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2},$

но ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее (рис. 13.23). Вычислить интеграл где L - пробегаемая в положительном направлении окружность радиуса 2 с центром в начале координат.




Рис.13.23.Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями


Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью $ {z=-h}$ , $ h>0$ . Уравнения этой линии

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} -\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=h,\\ z=-h. \end{array}\right.$

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{y^2}{b^2h}- \frac{x^2}{b^2h}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{y^2}{b_1^2}-\frac{x^2}{a_1^2}=1,$(13.16)
 


где $ a_1=a\sqrt h$ , $ b_1=b\sqrt h$ . Уравнение (13.16) является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси $ Oy$ , а мнимая -- оси $ Ox$ . Полуоси равны соответственно $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 13.24).

Найдем линии пересечения с плоскостями $ x=\pm m$ , параллельными плоскости $ yOz$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} z=\dfrac{m^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2},\\ x=\pm m. \end{array}\right.$

Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью $ yOz$ , только сдвинутой вдоль оси $ Oz$ на величину $ \frac{m^2}{a^2}$ вверх. Эти параболы изображены на рисунке 13.24.

Рис.13.24.Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений


Так как $ m$ -- произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости $ yOz$ . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости $ yOz$ , а вершина скользила по параболе в плоскости $ xOz$ .

Плоскость $ z=h$ , $ h>0$ , пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы (13.16), ее действительная ось параллельна теперь оси $ Ox$ , а мнимая -- оси $ Oy$ (рис. 13.25).

Рис.13.25.Дополнительное сечение


Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.26.

Рис.13.26.Гиперболический параболоид

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. Условия монотонности функции. Экстремум функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)