Свойства производных

  Замечание 4.5   Обозначим функцию $ f(x)$ через $ u$, а функцию $ g(x)$ через $ v$. Тогда формулы (4.7 - 4.10) можно более коротко записать в виде
$\displaystyle (u\pm v)'=u'\pm v';\quad (uv)'=u'v+v'u; \quad \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ (при $\displaystyle v\ne0). $
Именно в таком кратком виде мы и рекомендуем запоминать эти формулы.     
        Следствие 4.1   Применяя формулу (4.9) к случаю, когда $ g(x)=k=\mathrm{const}$, и учитывая, что $ k'=0$ (см. формулу (4.5)), мы получаем, что
$\displaystyle (kf(x))'=kf'(x),$
то есть что постоянный множитель можно выносить из под знака производной.     

Из этого следствия и формулы (4.7) получается следующее свойство производных: если $ C_1$ и $ C_2$ -- постоянные и $ f_1,f_2$ -- дифференцируемые в точке $ x_0$ функции, то

$\displaystyle (C_1f_1(x)+C_2f_2(x))'=C_1f_1'(x)+C_2f_2'(x).$(4.11)

Если операцию вычисления производной в точке $ x_0$ обозначить $ D_{x_0}$, то есть $ {D_{x_0}(f(x))=f'(x_0)}$, то равенство (4.11) означает линейность этой операции дифференцирования в точке:
$\displaystyle D_{x_0}(C_1f_1(x)+C_2f_2(x))=C_1D_{x_0}(f_1(x))+C_2D_{x_0}(f_2(x)).$

Поскольку дифференцируемость функции на интервале или отрезке мы определяли как дифференцируемость в каждой точке этого интервала или отрезка, то тем самым мы показали, что операция $ D$ перехода от функции $ f$ к её производной $ f'$, $ D(f)=f'$, также обладает свойством линейности:

$\displaystyle D(C_1f_1+C_2f_2)=C_1D(f_1)+C_2D(f_2).$
При этом в случае отрезка действие $ D$ на функцию в точке, являющейся одним из концов отрезка, понимается как вычисление соответствующей односторонней производной: в левом конце -- правой, а в правом конце -- левой.

Эти результаты можно выразить ещё и таким образом. Рассмотрим пространство $ \mathcal{D}_{x_0}$ всех функций $ f$, определённых на некотором фиксированном интервале $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ и имеющих производную $ f'(x_0)$ в точке $ x_0$. Тогда операции умножения на постоянные множители и сложения не выводят из этого пространства, то есть пространство $ \mathcal{D}_{x_0}$ -- это линейное пространство; при этом операция $ D_{x_0}$ -- это линейная операция из пространства $ \mathcal{D}_{x_0}$ в линейное пространство вещественных чисел:

$\displaystyle D_{x_0}:\mathcal{D}_{x_0}\to\mathbb{R};\quad D_{x_0}:f(x)\mapsto f'(x_0).$

То же верно и для пространств функций, дифференцируемых на интервале $ (a;b)$ (обозначим это пространство $ \mathcal{D}_{(a;b)}$) или на отрезке $ [a;b]$ (обозначим это пространство $ \mathcal{D}_{[a;b]}$). Оба этих пространства -- линейные (то есть замкнуты относительно применения к функциям из этих пространств операций сложения и умножения на постоянные), а операция дифференцирования $ D$ действует как линейная операция из этих линейных пространств в линейное пространство функций, непрерывных на данном интервале (обозначим это пространство $ \mathcal{C}_{(a;b)}$; см. предложение 3.4) или отрезке (обозначим это пространство $ \mathcal{C}_{[a;b]}$; также см. предложение 3.4), так как в соответствии с теоремой 4.1 производная каждой дифференцируемой функции $ f(x)$ -- это непрерывная функция $ f'(x)=D(f(x))$:

$\displaystyle D:\mathcal{D}_{(a;b)}\to\mathcal{C}_{(a;b)};\quad D:f(x)\mapsto f'(x);$
$\displaystyle D:\mathcal{D}_{[a;b]}\to\mathcal{C}_{[a;b]};\quad D:f(x)\mapsto f'(x).$

Тем самым операция $ D$ -- это линейная функция, областью определения которой служит пространство всех дифференцируемых функций, а область значений $ \mathcal{E}(D)$ лежит в пространстве непрерывных функций. Функции, областями определения и областями значения которых служат некоторые пространства функций, в математике принято называть операторами. Таким образом, операция дифференцирования $ D$ -- это линейный оператор из линейного пространства $ \mathcal{D}_{(a;b)}$ в линейное пространство $ \mathcal{C}_{(a;b)}$ и из линейного пространства $ \mathcal{D}_{[a;b]}$ в линейное пространство $ \mathcal{C}_{[a;b]}$.    

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции