Производные некоторых элементарных функций

1. Выше мы уже рассмотрели линейную функцию и показали, что её производная равна угловому коэффициенту :

2. Рассмотрим функцию . Дадим аргументу приращение и найдём приращение функции: . Поэтому

(Можно доказать эту формулу и так:

Здесь мы применили формулу (4.9).) Точно так же для функции получаем: , откуда

Заказать перевод

(И здесь, применяя формулу (4.9), мы можем действовать так:

Такие же вычисления для функции при целом можно провести, разложив по формуле бинома Ньютона (см. гл. 2). При этом получится формула

(4.12)

(Проведите это вычисление самостоятельно в качестве упражнения. Другой способ доказательства этой формулы -- представить в виде и применить метод математической индукции, воспользовавшись тем, что при и 3 формула уже доказана.) При и формула (4.12) совпадает, соответственно, с формулами (4.5) и (4.6). Ниже мы докажем, что эта формула верна при любом , в том числе при дробных и отрицательных значениях .