Производные некоторых элементарных функций Лекции и задачи

6. Пусть $f(x)=\cos x$ . Тогда приращение функции равно
$\displaystyle {\Delta}f=\cos(x+h)-\cos x= -2\sin\dfrac{(x+h)+x}{2}\sin\dfrac{(x+h)-x}{2}= -2\sin(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2},$
а производная --
$\displaystyle (\cos x)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}= -\lim_{h\to0}\sin(x+... ...{2}) \lim_{h\to0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}= -\sin x\cdot1=-\sin x.$
При этом мы воспользовались непрерывностью синуса, откуда $\lim\limits_{h\to0}\sin(x+\frac{h}{2})=\sin x,$ и первым замечательным пределом.
7. Рассмотрим функцию $f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ как отношение $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ и применим для нахождения производной формулу (4.10). Получаем:
$\displaystyle (\mathop{\rm tg}\nolimits x)'=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)... ...{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}= \dfrac{1}{\cos^2x}=1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x.$
8. Аналогично, для функции $f(x)=\mathop{\rm ctg}\nolimits x$ получаем
$\displaystyle (\mathop{\rm ctg}\nolimits x)'{=}\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\rig... ...in^2x-\cos^2x}{\sin^2x}= -\dfrac{1}{\sin^2x}=-1-\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2x.$
Заказать перевод

9. Пусть $f(x)=\log_ax$ ( $a>0, a\ne1, x>0$ ). Тогда приращение функции равно
$\displaystyle {\Delta}f=\log_a(x+h)-\log_ax=\log_a\dfrac{x+h}{x}= \log_a(1+\frac{h}{x}),$
а разностное отношение --
$\displaystyle \dfrac{{\Delta}f}{h}=\frac{1}{h}\log_a(1+\frac{h}{x})= \frac{1}{... ...c{x}{h}\log_a(1+\frac{h}{x})= \frac{1}{x}\log_a(1+\frac{h}{x})^{\dfrac{x}{h}}.$
Теперь вычислим производную:
$\begin{multline*} f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}= \lim_{h\to0}\frac{1}... ...{1}{x}\log_ae=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln a}=\frac{1}{x\ln a}. \end{multline*}$

При вычислении предела мы, во-первых, воспользовались непрерывностью логарифмической функции и переставили знаки предела и логарифма; во-вторых, сделали замену ${\alpha}=\dfrac{h}{x}$ , при этом ${\alpha}\to0$ при $h\to0$ ; в-третьих, был использован второй замечательный предел: $\lim\limits_{{\alpha}\to0}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e$ .
Из полученной формулы
$\displaystyle (\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}$
при вытекает, что
$\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.$

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции