Кривые и поверхности второго порядка Параллельный перенос системы координат Пример

Пример 13.2 Нарисуйте поверхность

Решение. Выделим полные квадраты по переменным

(см. пример 12.1):

$\displaystyle 4(x^2+2x+1)-4-(y^2+4y+4)+4+(z^2-2z+1)-1=3.$

Отсюда

$\displaystyle 4(x+1)^2-(y+2)^2+(z-1)^2=4.$

Разделим обе части на 4:

$\displaystyle \frac{(x+1)^2}{1^2}-\frac{(y+2)^2}{2^2}+\frac{(z-1)^2}{2^2}=1.$

Введем новую систему координат с началом в точке

, получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 13.1 получим, что в новой системе поверхность задается уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}+\frac{\tilde z^2}{2^2}=1.$

Данное уравнение отличается от канонического уравнения однополостного гиперболоида тем, что поменялись ролями оси ординат ( $O_1\tilde y$ ) и аппликат ( $O_1\tilde z$ ). Не переобозначая осей, произведем построение поверхности с помощью сечений. В сечении плоскостью $\tilde xO_1\tilde z$ получаем эллипс с уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}+\frac{\tilde z^2}{2^2}=1.$

Его полуоси равны 1 и 2 и лежат соответственно на осях $O_1\tilde x$ и $O_1\tilde y$ . В сечении плоскостью $\tilde xO_1\tilde y$ получаем гиперболу с уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{1^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}=1.$

Ее мнимая ось лежит на оси $O_1\tilde y$ , а действительная ось лежит на оси $O_1\tilde x$ , полуоси соответственно равны 2 и 1. В сечении плоскостью $\tilde yO_1\tilde z$ получаем равностороннюю гиперболу с уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde z^2}{2^2}-\frac{\tilde y^2}{2^2}=1.$

Ее мнимая ось лежит на оси $O_1\tilde y$ , а действительная ось лежит на оси $O_1\tilde z$ , обе полуоси равны 2. Для большей наглядности нарисуем еще два сечения плоскостями параллельными плоскости $\tilde xO_1\tilde z$ . В сечениях получим эллипсы, подобные эллипсу в плоскости $\tilde xO_1\tilde z$ . По рассмотренным сечениям можно представить себе форму гиперболоида и его расположение в пространстве (рис. 13.33). Объемное изображение приведено на рис. 13.34.

Рис.13.33.Изображение поверхности с помощью сечений

Рис.13.34.Объемное изображение поверхности

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Параллельный перенос системы координат Кривые и поверхности второго порядка