Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии
        Определение 4.3   Пусть дана функция $ f(x)$, и $ x_0$ -- внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение $ {\Delta}x$ и рассмотрим приращение функции
$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=f(x_0+{\Delta}x)-f(x_0).$
Если это приращение $ {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)$ можно представить в виде
$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=A(x_0){\Delta}x+{\alpha}(x_0;{\Delta}x),$
где величина $ A(x_0)$ не зависит от приращения $ {\Delta}x$, а $ {\alpha}(x_0;{\Delta}x)$ -- бесконечно малая при базе $ {\Delta}x\to0$ величина, имеющая больший порядок малости, чем $ {\Delta}x$, то произведение $ A(x_0){\Delta}x$ называется дифференциалом функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначается $ df(x_0;{\Delta}x)$ или просто $ df$.      Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода Интегральное исчисление функций многих переменных примеры решения задач

Таким образом, дифференциал $ df=A(x_0){\Delta}x$ -- это функция двух аргументов $ x_0$ и $ {\Delta}x$, причём от переменного приращения $ {\Delta}x$ дифференциал зависит линейно ($ {\Delta}x$ входит в выражение, задающее $ {\Delta}f$, как множитель, стоящий в первой степени). Заметим, что в формуле

$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=df(x_0;{\Delta}x)+{\alpha}(x_0;{\Delta}x)$ Разложение функций в степенные ряды.

второе слагаемое в правой части имеет порядок малости, больший, чем у $ {\Delta}x$, и, следовательно, при $ A(x_0)\ne0$ больший, чем у $ df(x_0;{\Delta}x)$. Поэтому дифференциал $ df=A(x_0){\Delta}x$ -- это главная, линейная по $ {\Delta}x$, часть приращения функции.

        Теорема 4.3   Функция $ f(x)$ имеет дифференциал $ df(x_0;{\Delta}x)$ в точке $ x_0$ тогда и только тогда, когда она имеет производную $ f'(x_0)$ в этой точке; при этом
$\displaystyle df(x_0;{\Delta}x)=f'(x_0){\Delta}x.$
Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода по внешней боковой стороне цилиндра , лежащей в первом октанте и ограниченной плоскостями х = 0,5, х = 1, у =0,5, причём  0,5 < х < 1, у > 0,5.

        Доказательство.     Пусть функция $ f(x)$ имеет дифференциал, то есть её приращение можно представить в виде $ {\Delta}f=A(x_0){\Delta}x+{\alpha}(x_0;{\Delta}x)$. Разделим обе части равенства на $ {\Delta}x$:

$\displaystyle \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=A(x_0)+\dfrac{{\alpha}(x_0;{\Delta}x)}{{\Delta}x}.$

При $ {\Delta}x\to0$ в правой части предел первого слагаемого равен $ A(x_0)$, поскольку эта величина не зависит от $ {\Delta}x$ и, следовательно, при вычислении предела считается постоянной. Далее,

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\alpha}(x_0;{\Delta}x)}{{\Delta}x}=0,$

так как, по определению дифференциала, $ {\alpha}$ имеет более высокий порядок малости, нежели $ {\Delta}x$. Значит, существует предел

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=A(x_0).$

Но этот предел, по определению, равен производной $ f'(x_0)$. Значит, функция имеет производную в точке $ x_0$, и $ f'(x_0)=A(x_0)$, откуда

$\displaystyle df=A(x_0){\Delta}x=f'(x_0){\Delta}x.$

Пусть теперь функция $ f(x)$ имеет производную $ f'(x_0)$. Это означает, что $ {\lim\limits_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=f'(x_0)}$. По теореме о связи пределов и бесконечно малых, это эквивалентно тому, что величина $ {{\beta}(x_0;{\Delta}x)=\dfrac{{\Delta}f(x_0;{\Delta}x)}{{\Delta}x}-f'(x_0)}$ является бесконечно малой. Умножим обе части последнего равенства на $ {\Delta}x$ и получим:

$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=f'(x_0){\Delta}x+{\beta}(x_0;{\Delta}x){\Delta}x.$

Получили представление приращения функции в виде $ {\Delta}f=A(x_0){\Delta}x+{\alpha}$, где $ A(x_0)=f'(x_0)$, а величина $ {\alpha}={\beta}{\Delta}x$, очевидно, имеет больший порядок малости, чем $ {\Delta}x$, поскольку $ \dfrac{{\alpha}}{{\Delta}x}={\beta}\to0$ при $ {\Delta}x\to0$. Тем самым, функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ дифференциал, который имеет вид $ df=f'(x_0){\Delta}x$.     

Геометрический смысл дифференциала $ df(x_0;{\Delta}x)$ мы выясним, исходя из найденного ранее геометрического смысла производной. Поскольку производная $ f'(x_0)$ -- это угловой коэффициент $ k$ касательной к графику функции при $ x=x_0$, то дифференциал $ df=f'(x_0){\Delta}x=k{\Delta}x$ -- это приращение ординаты $ Y$ точки касательной

$\displaystyle Y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=kx+b$

к графику функции $ y=f(x)$, когда абсцисса точки касательной получает приращение $ {\Delta}x$:

$\displaystyle {\Delta}Y=(k(x_0+{\Delta}x)+b)-(kx_0+b)=k{\Delta}x.$

Рис.4.6.Дифференциал равен приращению ординаты касательной

        Замечание 4.6   Заметим, что для функции $ f(x)=x$ производная равна 1, так что дифференциал $ df(x;{\Delta}x)=dx$ равен $ 1\cdot{\Delta}x={\Delta}x$, то есть $ dx={\Delta}x$. Поэтому можно всюду вместо приращения независимой переменной $ {\Delta}x$ писать её дифференциал $ dx$. При этом получается, что для произвольной дифференцируемой функции $ f(x)$
$\displaystyle df(x;dx)=f'(x)dx.$
    
        Замечание 4.7   Часто в обозначении дифференциала функции пропускают второй аргумент $ dx={\Delta}x$, от которого $ df$ зависит линейно, и пишут короче:
$\displaystyle df(x)=f'(x)dx.$
Однако нужно чётко понимать, что это лищь сокращённая запись, и на самом деле дифференциал -- это функция двух аргументов $ x$ и $ dx$, линейная по $ dx$.     
        Замечание 4.8   Поскольку для функции $ y=f(x)$ дифференциал записывается как $ dy=df(x)=f'(x)dx$, то, деля на $ dx$, получаем
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{df(x)}{dx}=\dfrac{dy}{dx}(x),$
что придаёт смысл обозначению производной в виде отношения дифференциалов. Это обозначение было введено нами ранее, однако выше мы не придавали дроби $ \dfrac{dy}{dx}$ смысла некоторого отношения двух величин, а смогли сделать это только сейчас.     

Вектор-функция скалярного аргумента. Понятие кривой, гладкая кривая. Касательная к кривой. Кривизна кривой. Радиус кривизны. Главная нормаль. Бинормаль. Кручение кривой. Интегральное исчисление функций одной переменной. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)