Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Пусть $ f(u)$ и $ {\varphi}(x)$ -- такие числовые функции, что определена их композиция $ g(x)=(f\circ{\varphi})(x)=f({\varphi}(x))$. Предположим, что функция $ {\varphi}(x)$ определена в некоторой окрестности точки $ x_0$, а функция $ f(u)$ -- в некоторой окрестности точки $ u_0={\varphi}(x_0)$. Тогда имеет место следующее утверждение.

        Теорема 4.4   Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную $ {\varphi}'(x_0)$, а функция $ f(u)$ -- производную $ f'(u_0)$, то композиция $ g(x)=f({\varphi}(x))$ имеет производную
$\displaystyle g'(x_0)=f'(u_0){\varphi}'(x_0).$(4.13)
 
Условия существования двойного интеграла и его свойства Интегральное исчисление функций многих переменных примеры решения задач

        Доказательство.     Рассмотрим приращение функции $ g(x)$, соответствующее приращению $ {\Delta}x=h$ переменного $ x$:

$\displaystyle {\Delta}g(x_0;h)=g(x_0+h)-g(x_0)=f({\varphi}(x_0+h))-f({\varphi}(x_0))= {\Delta}f(u_0;{\Delta}{\varphi}),$

где $ u_0={\varphi}(x_0)$ и $ {\Delta}{\varphi}-{\varphi}(x_0+h)-{\varphi}(x_0)$. Так как функция $ f(u)$ имеет дифференциал в точке $ u_0$ (см.  теорему 4.3), то

$\displaystyle {\Delta}f(u_0;{\Delta}{\varphi})=f'(u_0){\Delta}{\varphi}+{\alpha... ...arphi}(x_0)h+{\beta}(x_0;h)h)+{\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\Delta}{\varphi},$

где $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi})\to0$ при $ {\Delta}{\varphi}\to0$ и $ {\beta}(x_0;h)\to0$ при $ h\to0$. Раскрываем скобки далее:

$\displaystyle {\Delta}g(x_0;h)=f'(u_0){\varphi}'(x_0)h+f'(u_0){\beta}(x_0;h)h+{... ...ta}{\varphi}){\varphi}'(x_0)h+ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\beta}(x_0;h)h=$   
$\displaystyle =f'(u_0){\varphi}(x_0)h+h[ f'(u_0){\beta}(x_0;h)+{\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\varphi}'(x_0)+ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\beta}(x_0;h)].$   
 

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Теперь, в соответствии с теоремой 4.3, осталось доказать, что в последней формуле в квадратных скобках стоит величина, бесконечно малая при $ h\to0$. Первое слагаемое $ f'(u_0){\beta}(x_0;h)$ бесконечно мало, поскольку $ f'(u_0)$ вообще не зависит от $ h$, а $ {\beta}(x_0;h)$ -- бесконечно малая при базе $ h\to0$. Во втором слагаемом $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\varphi}'(x_0)$ постоянной является величина $ {\varphi}'(x_0)$. Покажем, что $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi})={\alpha}(u_0;{\varphi}(x_0+h)-{\varphi}(x_0))\to0$ при $ h\to0$. Так как функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную при $ x=x_0$, то $ {\varphi}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$, откуда $ {\varphi}(x_0+h)\to{\varphi}(x_0)$ и, следовательно, $ {\Delta}{\varphi}={\varphi}(x_0+h)-{\varphi}(x_0)\to0$ при $ h\to0$. Поэтому $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi})\to0$ при $ h\to0$, по предположению о величине $ {\alpha}$. Для третьего слагаемого $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\beta}(x_0;h)$ заметим, что $ {\alpha}$, как только что было доказано, есть бесконечно малая и, следовательно, локально ограниченная функция при $ h\to0$, а $ {\beta}$ -- бесконечно малая. Значит, их произведение также бесконечно мало при $ h\to0$. Тем самым, в квадратных скобках стоит сумма трёх бесконечно малых, которая также является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.     

        Замечание 4.9   Мы можем пояснить происхождение формулы (4.13), то есть формулы $ y'=f'\cdot{\varphi}'$, где $ y=f(u),u={\varphi}(x)$, записав её в виде
$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}.$
Эта формула получается предельным переходом из очевидного равенства
$\displaystyle \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}=\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}u}\cdot\dfrac{{\Delta}u}{{\Delta}x},$
однако такое доказательство формулы (4.13) имеет существенный недостаток, поскольку ниоткуда не следует, что $ {\Delta}u\ne0$ при всех $ {\Delta}x=h\ne0$. Тем не менее, смысл формулы для производной композиции функций при этом, несомненно, проясняется.     
    Вычислить интеграл  по верхней стороне полусферы

Вектор-функция скалярного аргумента. Понятие кривой, гладкая кривая. Касательная к кривой. Кривизна кривой. Радиус кривизны. Главная нормаль. Бинормаль. Кручение кривой. Интегральное исчисление функций одной переменной. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)

заказать противомоскитные сетки во Львове
Оригинальные оформление детского сада удобные