Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Производная композиции


    Пример 4.4   Пусть $ y=\sin2x$, то есть $ y=\sin u$, где $ u=2x$: данная функция представлена в виде композиции функций $ \sin u$ и $ 2x$. Тогда для нахождения производной мы можем применить формуду производной композиции. Поскольку $ (\sin u)'_u=\cos u$ и $ (2x)'_x=2$ (нижний индекс мы пишем для напоминания о том, по какой переменной берётся производная), то
$\displaystyle (\sin2x)'_x=\cos u\cdot2=2\cos2x.$
Тот же самый, разумеется, результат мы получим, использовав равенство $ {\sin2x=2\sin x\cos x}$ и применив формулу производной произведения:
$\displaystyle (\sin2x)'=2(\sin x\cos x)'=2(\cos x\cos x+\sin x(-\cos x))= 2(\cos^2x-\sin^2x)=2\cos2x.$
Однако первый способ гораздо продуктивнее: совершенно аналогично получаем, например,
$\displaystyle (\sin5x)'=\cos5x\cdot(5x)'=5\cos5x;$
$\displaystyle (\cos3x)'=(-\sin3x)\cdot(3x)'=-3\sin3x$
и т. п.     

Беря в качестве промежуточного аргумента любую дифференцируемую функцию $ {u=u(x)}$, из доказанных ранее формул получаем:

$\displaystyle (u^n)'_x=nu^{n-1}u'_x,$   

в частности,


$\displaystyle (u^2)'_x=2uu'_x,\;(\sqrt{u})'_x=\dfrac{u'_x}{2\sqrt{u}},\; \left(\dfrac{1}{u}\right)'_x=-\dfrac{u'_x}{u^2};$   
$\displaystyle (\sin u)'_x=\cos uu'_x;$   
$\displaystyle (\cos u)'_x=-\sin uu'_x;$   
$\displaystyle (\mathop{\rm tg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\cos^2u};$   
$\displaystyle (\mathop{\rm ctg}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\sin^2u};$   
$\displaystyle (\log_au)'_x=\dfrac{u'_x}{u\ln a},$   

в частности,

Заказать перевод


$\displaystyle (\ln u)'_x=\dfrac{u'_x}{u}.$   
 


        Пример 4.5   Найдём производную функции $ y=\mathop{\rm tg}\nolimits (5x^2+3)$. Здесь промежуточный аргумент равен $ u=5x^2+3$; $ u'_x=5\cdot2x=10x$. Поэтому по формуле $ (\mathop{\rm tg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\cos^2u}$ получаем:
$\displaystyle y'=\dfrac{10x}{\cos^2(5x^2+3)}.$
    
      

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции