Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

  Пример 4.6   Найдём производную функции $ y=\cos^52x$. Здесь функция имеет вид $ y=u^5$, с промежуточным аргументом $ u=\cos2x$, который, в свою очередь, является сложной функцией. Поэтому
\begin{multline*} y'=5u^4u'_x=5(\cos2x)^4(\cos2x)'_x=5\cos^42x(-\sin2x)(2x)'=\\ =-5\cos^42x\sin2x\cdot2=-10\cos^42x\sin2x. \end{multline*}
    
        Пример 4.7   Найдём производные ареа-функций (напомним, что ареа-функции -- это функции, обратные к гиперболическим функциям). Ранее мы записали для них следующие формулы:
$\displaystyle \mathop{\rm arsh}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2+1});$   
$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits x=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})$   

(в зависимости от того, что считать главной ветвью функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $); Переход в тройном интеграле от декартовых  к сферическим координатам. Интегральное исчисление функций многих переменных примеры решения задач


$\displaystyle \mathop{\rm arth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x};$ Изменить порядок интегрирования.    
$\displaystyle \mathop{\rm arcth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x-1}.$   

Поэтому
\begin{multline*} (\mathop{\rm arsh}\nolimits x)'=(\ln(x+\sqrt{x^2+1}))'= \dfr... ...1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \end{multline*}
и аналогично:
\begin{multline*} (\mathop{\rm arch}\nolimits x)'=(\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})'= \df... ...{\sqrt{x^2-1}}}{x\pm\sqrt{x^2-1}}= \pm\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}; \end{multline*}
\begin{multline*} (\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-... ...dfrac{\dfrac{2}{(1-x)^2}}{\dfrac{1+x}{1-x}}= \dfrac{1}{1-x^2}; \end{multline*} Изменить порядок интегрирования Примеры решения задач типового расчета
и аналогично:
\begin{multline*} (\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x... ...frac{\dfrac{-2}{(x-1)^2}}{\dfrac{x+1}{x-1}}= \dfrac{1}{1-x^2}. \end{multline*}
Последние две формулы не противоречат друг другу, так как при $ x\in(-1;1)$, а $ (\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$ при $ x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$.     
$ (\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$
        Упражнение 4.1   Пусть $ f(x)$ -- чётная функция, имеющая производную $ f'(x)$. Докажите, что тогда $ f'(x)$ является нечётной функцией. Наоборот, если $ f(x)$ -- нечётная функция, докажите, что $ f'(x)$ -- чётная функция.
При этом воспользуйтесь тем, что для чётной функции $ f(-x)=f(x)$, а для нечётной функции $ f(-x)=-f(x)$, и примените правило нахождения производной композиции, с промежуточным аргументом $ u(x)=-x$.     

Вектор-функция скалярного аргумента. Понятие кривой, гладкая кривая. Касательная к кривой. Кривизна кривой. Радиус кривизны. Главная нормаль. Бинормаль. Кручение кривой. Интегральное исчисление функций одной переменной. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)