Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Пусть $ f(x)$ -- непрерывная функция, монотонная на интервале $ (a;b)$. Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция $ y=f(x)$ имеет обратную функцию $ x={\varphi}(y)$, которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале $ (c;d)$, в который функция $ f$ переводит интервал $ (a;b)$. Пусть $ x_0\in(a;b)$ -- фиксированная точка и $ y_0=f(x_0)\in(c;d)$ -- точка, ей соответствующая. Тогда $ x_0={\varphi}(y_0)$.

        Теорема 4.5   Пусть функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ производную $ f'(x_0)\ne0$. Тогда обратная функция $ {\varphi}(y)$ имеет в соответствующей точке $ y_0$ производную $ {\varphi}'(y_0)$, которую можно отыскать по формуле
$\displaystyle {\varphi}'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}.$(4.14)
 

        Доказательство.     Дадим аргументу $ x_0$ приращение $ {\Delta}x\ne0$, такое что $ {x_0+{\Delta}x\in(a;b)}$, и рассмотрим соответствующее приращение $ {\Delta}y$, определяемое равенством $ y_0+{\Delta}y=f(x_0+{\Delta}x)$. Тогда, очевидно, $ {y_0+{\Delta}y\in(c;d)}$; при этом $ {\varphi}(y_0+{\Delta}y)=x_0+{\Delta}x$, а из монотонности функции $ f$ следует, что $ {\Delta}y\ne0$. Поскольку как функция $ f$, так и функция $ {\varphi}$ непрерывны, то условия $ {\Delta}x\to0$ и $ {\Delta}y\to0$ эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции $ x={\varphi}(y)$ и запишем для него очевидное равенство:

$\displaystyle \dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}=\dfrac{1}{\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}}.$
Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями Примеры решения задач типового расчета

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при $ {\Delta}y\to0$ и учтём, что при этом $ {\Delta}x$ тоже стремится к 0:

$\displaystyle {\varphi}'(y_0)=\lim_{{\Delta}y\to0}\dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}=... ...1}{\lim\limits_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}}=\dfrac{1}{f'(x_0)},$

что мы и хотели доказать.     

Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{{\varphi}'(f(x))},$ Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями (4.15)
 


если $ {\varphi}(y)$ -- функция, обратная к $ f(x)$.

        Замечание 4.10   Нетрудно заметить из приведённого доказательства, что если существует производная $ f'(x_0)=0$, то разностное отношение $ \dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}$ стремится к $ \infty$ при $ {\Delta}y\to0$, что соответствует вертикальной касательной к графику $ x={\varphi}(y)$ при $ y=y_0$ (если считать, что ось $ 0y$ расположена горизонтально, а ось $ Oy$ -- вертикально).     

Рис.4.7.Графики функций $ y=f(x)$ и $ x={\varphi}(y)$ и касательные к ним при $ f'(x_0)=0$

Полученная формула для производной обратной функции имеет прозрачный геометрический смысл. Заметим, что график как функции $ y=f(x)$, так и обратной функции $ x={\varphi}(y)$ изображается на координатной плоскости $ xOy$ одной и той же линией, состоящей из точек $ (x;y)$, где $ y=f(x)$ или, что то же самое, $ x={\varphi}(y)$. Поэтому, если в точке $ (x_0;y_0)$ график функции $ y=f(x)$ имеет касательную, образующую угол $ {\alpha}$ с осью $ Ox$, то угол той же касательной с осью $ Oy$ будет, очевидно, равен $ \dfrac{\pi}{2}-{\alpha}$. Тогда

$\displaystyle {\varphi}(y_0)=\mathop{\rm tg}\nolimits (\dfrac{\pi}{2}-{\alpha})... ...imits {\alpha}=\dfrac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}}=\dfrac{1}{f'(x_0)},$

поскольку для обратной функции $ {\varphi}(y)$ производная даёт тангенс угла наклона касательной по отношению к оси $ Oy$, на которой меняется аргумент функции $ {\varphi}$.

Рис.4.8.Углы, тангенсы которых равны $ f'(x_0)$ и $ {\varphi}'(y_0)$, дополняют друг друга до $ 90^{\circ}$

Вектор-функция скалярного аргумента. Понятие кривой, гладкая кривая. Касательная к кривой. Кривизна кривой. Радиус кривизны. Главная нормаль. Бинормаль. Кручение кривой. Интегральное исчисление функций одной переменной. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)

орбитреки
москитные сетки Львов