Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

     Пример 4.14   Аналогично находится производная гиперболического косинуса $ {y=\mathop{\rm ch}\nolimits x= \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}$:
$\displaystyle y'=(\mathop{\rm ch}\nolimits x)'=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})'= \frac{1}{2}(e^x+(-e^{-x}))= \frac{1}{2}(e^x-e^{-x}))=\mathop{\rm sh}\nolimits x.$
    
        Пример 4.15   Найдём производную гиперболического тангенса $ \mathop{\rm th}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}$. Заметим для начала, что $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2x-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x=1$ (проверьте!). Далее, имеем:
$\displaystyle (\mathop{\rm th}\nolimits x)'=\dfrac{(\mathop{\rm sh}\nolimits x)... ...ts ^2x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm ch}\nolimits ^2x}=1-\mathop{\rm th}\nolimits ^2x.$
    
        Пример 4.16   Найдём производную гиперболического котангенса $ \mathop{\rm cth}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm ch}\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}$. Имеем:
$\displaystyle (\mathop{\rm cth}\nolimits x)'=\dfrac{(\mathop{\rm ch}\nolimits x... ... ^2x}=-\dfrac{1}{\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x}=1-\mathop{\rm cth}\nolimits ^2x.$ При вычислении интегралов вида , где R – рациональная функция, используется универсальная тригонометрическая подстановка , приводящая к интегралам от рациональных относительно t функций Вычислить , если l задана уравнением
    
        Упражнение 4.2   Выведите эти же 4 формулы для производных функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x,\mathop{\rm ch}\nolimits x,\mathop{\rm th}\nolimits x,\mathop{\rm cth}\nolimits x$, исходя из того, что это -- обратные функции к соответствующим ареа-функциям, производные которых мы уже нашли выше. При этом используйте формулу (4.15).
Обратно, исходя из доказанных формул для производных гиперболических функций, выведите при помощи формулы (4.15) формулы для производных ареа-функций.     
        Пример 4.17   Найдём теперь формулу для производной функции $ y=x^{{\alpha}}$ при произвольном вещественном $ {\alpha}$. Некоторые частные случаи (при $ {\alpha}=n\in\mathbb{Z}$, $ {\alpha}=\frac{1}{2}$) были нами разобраны выше.
Итак, пусть $ f(x)=x^{{\alpha}}$, $ {\alpha}\in\mathbb{R}$, $ x\in(0;+\infty)$. Запишем функцию в виде $ f(x)=e^{{\alpha}\ln x}$ и найдём её производную как производную композиции с промежуточным аргументом $ u={\alpha}\ln x$. Получаем тогда
$\displaystyle (x^{{\alpha}})'=(e^{{\alpha}\ln x})'= e^{{\alpha}\ln x}({\alpha}... ...\ln x}\dfrac{1}{x}={\alpha}x^{\\ al}\cdot\dfrac{1}{x}= {\alpha}x^{{\alpha}-1}.$ Формула Остроградского – Грина Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.
    

Применим теперь полученные формулы для вычисления некоторых производных.

        Пример 4.18   Найдём производную функции
$\displaystyle f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},$ при $\displaystyle x\ne0.$
При $ x=0$ функция имеет неустранимый разрыв первого рода, поскольку
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}f(x)= \lim\limits_{x\to0+}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2},$
а
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0-}f(x)= \lim\limits_{x\to0-}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}=-\dfrac{\pi}{2}.$

Рис.4.9.График функции $ f(x)$

Теперь вычислим производную при $ x\ne0$: применяя формулу производной сложной функции, получаем
$\displaystyle f'(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x})'=\dfrac{1}{1+\df... ...frac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)= -\dfrac{1}{1+x^2}.$

Рис.4.10.График производной $ f'(x)$

Заметим, что если бы не разрыв при $ x=0$, эта производная совпала бы с производной функции $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $. Это неспроста: дело в том, что если мы положим
$\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{ll} \mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac... ...mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x>0, \end{array}\right. $
то $ g(x)$ будет совпадать с $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x$ при всех $ x\ne0$. В то же время $ g(x)$ отличается на постоянное слагаемое от $ f(x)$ при $ x<0$, и поэтому производные у $ f(x)$ и у $ g(x)$ одинаковые.     
        Упражнение 4.3   Найдите производную функции
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $
Отдельно вычислите производную при $ {x\ne0}$ (как производную произведения) и производные слева и справа при $ {x=0}$ (пользуясь определением производной, как
$\displaystyle \lim\limits_{h\to0\pm}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}= \lim\limits_{h\to0\pm}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{h}.)$

 

    
   

Вектор-функция скалярного аргумента. Понятие кривой, гладкая кривая. Касательная к кривой. Кривизна кривой. Радиус кривизны. Главная нормаль. Бинормаль. Кручение кривой. Интегральное исчисление функций одной переменной. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)