Производные некоторых элементарных функций

     Пример 4.14   Аналогично находится производная гиперболического косинуса :

    

        Пример 4.15   Найдём производную гиперболического тангенса . Заметим для начала, что (проверьте!). Далее, имеем:

    

        Пример 4.16   Найдём производную гиперболического котангенса . Имеем:

    

        Упражнение 4.2   Выведите эти же 4 формулы для производных функций , исходя из того, что это -- обратные функции к соответствующим ареа-функциям, производные которых мы уже нашли выше. При этом используйте формулу (4.15).

Обратно, исходя из доказанных формул для производных гиперболических функций, выведите при помощи формулы (4.15) формулы для производных ареа-функций.     

        Пример 4.17   Найдём теперь формулу для производной функции при произвольном вещественном . Некоторые частные случаи (при , ) были нами разобраны выше.

Итак, пусть , , . Запишем функцию в виде и найдём её производную как производную композиции с промежуточным аргументом . Получаем тогда

    

Применим теперь полученные формулы для вычисления некоторых производных.

        Пример 4.18   Найдём производную функции

при

При функция имеет неустранимый разрыв первого рода, поскольку

а

Рис.4.9.График функции

Теперь вычислим производную при : применяя формулу производной сложной функции, получаем

Рис.4.10.График производной

Заметим, что если бы не разрыв при , эта производная совпала бы с производной функции . Это неспроста: дело в том, что если мы положим

то будет совпадать с при всех . В то же время отличается на постоянное слагаемое от при , и поэтому производные у и у одинаковые.     

        Упражнение 4.3   Найдите производную функции

Отдельно вычислите производную при (как производную произведения) и производные слева и справа при (пользуясь определением производной, как