Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Матрицы Умножение матриц

Замечание 14.3 Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено).

У читателя может возникнуть законный вопрос: "Зачем так сложно определять произведение матриц? Нельзя ли его определить попроще, например, как произведение элементов матриц-сомножителей, стоящих на одинаковых местах?" Ответ на этот вопрос мы увидим позже, когда будем рассматривать системы линейных уравнений, правило изменения координат векторов при изменении базиса и такие неизвестные пока читателю объекты как линейные преобразования и квадратичные формы. Тогда мы увидим, что введенное определение умножения матриц используется очень эффективно, что оно "похоже" на умножение чисел. Если же произведение матриц определить по-другому, то его не удается разумно использовать ни в математике, ни в прикладных науках.

Рассмотрим, какими свойствами обладает операция умножения матриц.

Прежде всего отметим, что умножение матриц -- некоммутативная операция. Это означает, что существуют такие матрицы $ A$ и $ B$ , что

$\displaystyle AB\ne BA.$

Для прямоугольных матриц мы убедились в этом в примере 14.3. В нем произведение $ AB$ существует, а произведение $ BA$ -- нет. Для квадратных матриц это видно из следующего примера. Пусть $ A=\left(\begin{array}{rr}1&0\\ 0&0\end{array}\right)$ , $ B =\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right)$ . Тогда

$\displaystyle AB=\left(\begin{array}{rr}1&0\\ 0&0\end{array}\right)\left(\begin... ...0&1\\ 0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right),$
$\displaystyle BA=\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\left(\begin... ...1&0\\ 0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0&0\\ 0&0\end{array}\right),$

то есть $ AB\ne BA$ .

Предложение 14.4 Умножение матриц обладает следующими свойствами: $ (AB)C=A(BC)$ -- ассоциативность умножения; $ {\lambda}(AB)=({\lambda}A)B=A({\lambda}B)$ , где $ {\lambda}$ -- число; $ A(B+C)=AB+AC$ , $ (A+B)C=AC+BC$ -- дистрибутивность умножения; $ EA=A$ , $ AE=A$ , где $ E$ -- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл.

Доказательство. На протяжении всего доказательства предполагается, что $ A$ -- матрица размеров $ m\times n$ .

Докажем свойство ассоциативности. Чтобы произведение $ AB$ было определено, матрица $ B$ должна иметь размеры $ n\times k$ . Произведение $ AB$ обозначим буквой $ D$ . Тогда матрица $ D$ имеет размеры $ m\times k$ . Чтобы произведение $ (AB)C=DC$ было определено, матрица $ C$ должна иметь размеры $ k\times r$ . Матрицу $ (AB)C$ обозначим $ F$ , матрицу $ BC$ обозначим $ G$ , матрицу $ A(BC)$ обозначим $ H$ . Покажем, что элементы, стоящие в $ i$ -ой строке и $ j$ -ом столбце матриц $ F$ и $ H$ , равны друг другу, то есть что $ {f_{ij}= h_{ij}}$ .

По определению

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^kd_{is}c_{sj},\quad d_{is}=\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}.$

Подставив $ d_{is}$ из второго равенства в первое, получим
$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^k\left(\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}\right)c_{sj}.$

В силу предложения 14.1
$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^k\left(\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$

В силу предложения 14.3

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{p=1}^n\left(\sum_{s=1}^k a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$(14.6)

С другой стороны
$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n a_{ip}g_{pj},\quad g_{pj}=\sum_{s=1}^k b_{ps}c_{sj},$

откуда

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n a_{ip}\left(\sum_{s=1}^k b_{ps}c_{sj}\right).$

Применим предложение 14.1
$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n \left(\sum_{s=1}^k a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$

Сравнивая этот результат с(14.6), заключаем, что $ {f_{ij}= h_{ij}}$ . Ассоциативность умножения доказана.

Свойство 2 предоставляем читателю доказать самостоятельно.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Платформу клиент-сервер | ActiveX-компоненты | Базы данных | Конструктор форм | Электро | ТОЭ | Linux | Интегралы | Лекции физика | Windows 2003 | Архитектура ЭВМ | Рисунок | Световые волны | Операционные системы
Pascal | Эксперт | Учебник Java | Кодирование | Пефирия ПК | Информатика | Сети | Моделирование | Язык SQL Расчет надежности | Задачи