Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Над матрицами определена еще одна операция, называемая транспонированием.

        Определение 14.5   Пусть $ A$ -- матрица размеров $ m\times n$ . Тогда транспонированной матрицей $ A$ называется такая матрица $ B$ размеров $ n\times m$ , что $ {b_{ij}= a_{ji}}$ , $ {i=1,\dots,n}$ , $ {j=1,\dots,m}$ .         

Транспонированная матрица $ A$ обозначается $ A^{\top}$ или $ ^tA$ . Операция транспонирования заключается в том, что строки и столбцы в исходной матрице меняются ролями. В транспонированной матрице первым столбцом служит первая строка исходной матрицы, вторым столбцом -- вторая строка исходной матрицы и т.д. Например,

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1&2\\ 3&-1\\ 4&-2\end{array}\right),\quad A^{\top}= \left(\begin{array}{rrr}1&3&4\\ 2&-1&-2\end{array}\right),$

Математика решение задач Направление вектора определяется углами , образованными им с осями координат Векторная алгебра

$\displaystyle B=\left(\begin{array}{rr}3&1\\ 2&-4\end{array}\right),\quad B^{\top}=\left(\begin{array}{rr}3&2\\ 1&-4\end{array}\right).$

Читатель легко проверит, что

$\displaystyle \left(A^\top\right)^\top=A,\quad (A+B)^{\top}=A^{\top}+B^{\top},\quad ({\alpha}A)^{\top}={\alpha}\left(A^{\top} \right),$

где $ {\alpha}$ -- число.

Предложение 14.5   Если произведение $ AB$ определено, то

$\displaystyle (AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}.$ Найти длину дуги окружности радиуса , записав её уравнение в полярных координатах (14.8)
 

        Доказательство.     Пусть $ A$ -- матрица размеров $ m\times n$ , $ B$  -- матрица размеров $ n\times k$ . Тогда $ A^{\top}$ имеет размеры $ n\times m$ , $ B^{\top}$  -- размеры $ k\times n$ . Число столбцов в $ B^{\top}$ совпадает с числом строк в $ A^{\top}$ , поэтому произведение $ B^{\top}$ на $ A^{\top}$ определено. Размеры этого произведения $ k\times m$ . Матрица $ AB$ имеет размеры $ m\times k$ , поэтому $ (AB)^{\top}$  -- матрица размеров $ k\times m$ . Итак, матрицы в правой и левой части равенства (14.8) существуют и имеют одинаковые размеры.

Пусть $ C=AB$ , $ D=(AB)^{\top}=C^\top$ , $ F=B^\top$ , $ {G=A^\top}$ , $ {H=B^\top A^\top=FG}$ . Нам нужно показать, что $ {d_{ij}=h_{ij}}$ , $ i=1,\dots,k$ , $ {j=1,\dots,m}$ .

По определению транспонирования $ d_{ij}=c_{ji}$ . По определению умножения матриц

$\displaystyle d_{ij}=c_{ji}=\sum_{s=1}^na_{js}b_{si}.$(14.9)
 


С другой стороны,

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{s=1}^nf_{is}g_{sj},\quad f_{is}=b_{si},\quad g_{sj}=a_{js}.$

Поэтому

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{s=1}^nb_{si}a_{js}=\sum_{s=1}^na_{js}b_{si}.$

Сравнивая полученный результат с (14.9), получаем $ d_{ij}=h_{ij}$ .     

Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства. Понятие сингулярных интегралов.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)