Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

   Пример 4.19   Найдём вторую производную функции $ f(x)=\sin^3x$. Первая производная равна
$\displaystyle f'(x)=(\sin^3x)'=3\sin^2x\cos x;$
далее находим
$\displaystyle f''(x)=3(\sin^2x\cos x)'=3(2\sin x\cos^2x-\sin^3x)=3\sin x(2\cos^2x-\sin^2x).$
    
        Пример 4.20   Пусть $ y=f(x)=e^{kx}$. Тогда
$\displaystyle y'=e^{kx}\cdot k=ke^{kx}; y''=k(e^{kx})'=ke^{kx}\cdot k=k^2e^{kx}; \dots; y^{(n)}=k^ne^{kx}; \dots.$
При $ k=1$ все производные оказываются равными исходной функции: $ (e^x)^{(n)}=e^x.$     
        Пример 4.21   Рассмотрим функцию $ y=f(x)=\sin x$. Тогда
$\displaystyle y'=\cos x,\; y''=-\sin x,\;y'''=-\cos x,\;y^{(4)}=\sin x.$
Даны три последовательные Математика решение задач вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Аналитическая геометрия
Поскольку четвёртая производная $ y^{(4)}$ совпала с исходной функцией $ y$, то далее значения производных начнут повторяться с шагом 4: при $ k=0;1;2;\dots$ получаем
$\displaystyle y^{(4k)}(x)=\sin x; y^{(4k+1)}(x)=\cos x; y^{(4k+2)}(x)=-\sin x; y^{(4k+3)}(x)=-\cos x.$
Заметим также, что
$\displaystyle y'=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad y''=-\sin x=\sin(x+2\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad\quad y'''=-\cos x=\sin(x+3\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad\quad\quad y^{(4)}=\sin x=\sin(x+4\frac{\pi}{2}).$ Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на пластинку площади  с глубиной погружения  равна , где   - плотность жидкости,  - ускорение свободного падения.    
 

Легко видеть, что имеет место общая формула:
$\displaystyle y^{(n)}=(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2}).$
    
        Упражнение 4.4   Рассмотрите функцию $ y=\cos x$ и получите для её производных аналогичные формулы.     
        Упражнение 4.5   Найдите производные произвольного порядка $ n$ от гиперболических функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm ch}\nolimits x$.     
        Упражнение 4.6   Найдите производные произвольного порядка $ n$ от функции $ y=\ln x$. Придумайте формулу, позволяющую кратко записать выражение для $ y^{(n)}$; эта формула будет содержать знак факториала ( $ n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$).     
        Упражнение 4.7   Докажите, что вторая производная чётной функции является чётной функцией, а вторая производная нечётной функции -- нечётной функцией.    

 

Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства. Понятие сингулярных интегралов.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)