Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Матрицы Определители

        Предложение 14.11   Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

        Доказательство.     Нулевую строку можно рассматривать как строку из единиц, умноженную на число ноль. По предложению 14.10 определитель такой матрицы равен нулю, умноженному на определитель матрицы, содержащей строку из единиц. Результат такого умножения всегда будет ноль.     

        Предложение 14.12   Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число $ {\alpha}$ (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

        Доказательство.    По предложению 14.10 определитель исходной матрицы равен числу $ {\alpha}$ , умноженному на определитель матрицы, у которой есть две одинаковые строки. По предложению 14.9 определитель последней матрицы равен нулю. Поэтому и определитель исходной матрицы равен нулю.     

        Предложение 14.13   Пусть в матрице $ A$ $ i$ -ая строка имеет вид $ \left(\begin{array}{cccc}p_1+q_1&p_2+q_2&\cdots&p_n+q_n\end{array}\right)$ . Тогда $ {\vert A\vert=\vert A_p\vert+\vert A_q\vert}$ , где матрица $ A_p$ получается из матрицы $ A$ заменой $ i$ -ой строки на строку $ \left(\begin{array}{cccc}p_1&p_2&\cdots&p_n\end{array}\right)$ , а матрица $ A_q$  -- заменой $ i$ -ой строки на строку $ \left(\begin{array}{cccc}q_1&q_2&\cdots&q_n\end{array}\right)$ .

        Доказательство.     Пусть первая строка матрицы $ A$ имеет вид $ \left(\begin{array}{cccc}p_1+q_1&p_2+q_2&\cdots&p_n+q_n\end{array}\right)$ . Тогда

\begin{multline*} \vert A\vert=\sum_{k=1}^n(p_k+q_k)(-1)^{k+1}M_k=\sum_{k=1}^np... ... + \sum_{k=1}^nq_k(-1)^{k+1}M_k=\vert A_p\vert+\vert A_q\vert. \end{multline*}

Для случая $ i=1$ утверждение доказано.

Пусть $ i\ne1$ . Обозначим через $ B$ , $ B_p$ , $ B_q$ матрицы $ A$ , $ A_p$ , и $ A_q$ , в которых поменяли местами первую и $ i$ -ую строки. По только что доказанному (для $ i=1$ ) утверждению $ {\vert B\vert=\vert B_p\vert+\vert B_q\vert}$ . По предложению 14.8 $ {\vert B\vert=-\vert A\vert}$ , $ {\vert B_p\vert=-\vert A_p\vert}$ , $ {\vert B_q\vert=-\vert A_q\vert}$ . Следовательно, $ {-\vert A\vert=-\vert A_p\vert-\vert A_q\vert}$ . Умножив обе части последнего равенства на $ -1$ , получим требуемое утверждение.     

Предложение 14.14   Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

        Доказательство.     Пусть к $ i$ -ой строке матрицы $ A$ прибавлена $ j$ -ая строка, умноженная на число $ {\alpha}$ . Новую матрицу обозначим $ B$ . В матрице $ B$ элементы $ i$ -ой строки имеют вид $ {a_{ik}+{\alpha}a_{jk}}$ . По предложению 14.13 $ {\vert B\vert=\vert A\vert+\vert C\vert}$ , где $ C$  -- матрица, полученная из матрицы $ A$ заменой $ i$ -ой строки на $ j$ -ую строку, умноженную на число $ {\alpha}$ . По предложению 14.12 $ {\vert C\vert=0}$ , то есть $ {\vert B\vert=\vert A\vert}$ .     

        Предложение 14.15   Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

        Доказательство.     По предложению 14.13 определитель исходной матрицы равен сумме определителей матриц, в каждой из которых есть пропорциональные строки. По предложению 14.12 все эти определители равны нулю. Следовательно, и определитель исходной матрицы тоже равен нулю.     

        Определение 14.7   Алгебраическим дополнением к элементу $ a_{ij}$ матрицы $ A$ называется число, равное $ (-1)^{i+j}\cdot M_{ij}$ , где $ M_{ij}$  -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ A$ вычеркиванием $ i$ -ой строки и $ j$ -ого столбца.         

Алгебраическое дополнение к элементу $ a_{ij}$ матрицы $ A$ обозначается $ A_{ij}$ .

     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции