Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Матрицы Определители

 

   Пример 14.4   Пусть $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\ -1&0&-2\\ -4&-3&5\end{array}\right)}$ . Тогда
$\displaystyle A_{12}=(-1)^{1+2}\left\vert\begin{array}{rr}-1&-2\\ -4&5\end{array}\right\vert=13,$
$\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&2\\ -1&0\end{array}\right\vert=2.$
        

 Замечание 14.10   Используя алгебраические дополнения, определение 14.6 определителя можно записать так:

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{1k}A_{1k}.$
        

 Предложение 14.16   Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы $ A$ справедлива формула

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}.$

        Доказательство.     Если $ i=1$ , положим $ {B=A}$ . Пусть $ {i\ne1}$ . Тогда $ i$ -ую строку поменяем местами со строкой с номером $ {i-1}$ . Определитель сменит знак. Затем строку с номером $ {i-1}$ поменяем местами со строкой с номером $ {i-2}$ . Определитель снова сменит знак. Процесс перестановки строк будем продолжать до тех пор, пока $ i$ -ая строка матрицы $ A$ не станет первой строкой новой матрицы, которую мы обозначим $ B$ . Отметим, что в матрице $ B$ , начиная со второй строки, стоят строки матрицы $ A$ , причем порядок их следования не изменился.

При переходе от матрицы $ A$ к матрице $ B$ определитель сменит знак $ i-1$ раз (проверьте для случая $ i=3$ ). Таким образом

$\displaystyle \vert A\vert=(-1)^{i-1}\vert B\vert.$(14.11)


Это соотношение верно и при $ i=1$ . По определению 14.6 определителя,

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^nb_{1k}(-1)^{k+1}N_k,$

 

где $ N_k$  -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ B$ вычеркиванием первой строки и $ k$ -ого столбца. Первая строка матрицы $ B$ совпадает с $ i$ -ой строкой матрицы $ A$ , поэтому $ {b_{1k}=a_{ik}}$ . Результат вычеркивания в матрице $ B$ первой строки и $ k$ -ого столбца будет таким же, как при вычеркивании в матрице $ A$ $ i$ -ой строки и $ k$ -ого столбца. Поэтому $ {N_k=M_{ik}}$ , где $ M_{ik}$  -- определитель матрицы, полученной при вычеркивании в матрице $ A$ $ i$ -ой строки и $ k$ -ого столбца. Следовательно,

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}(-1)^{k+1}M_{ik}.$

 

В силу равенства (14.11) получим

$\displaystyle \vert A\vert=(-1)^{i-1}\sum_{k=1}^n a_{ik}(-1)^{k+1}M_{ik}=\sum_{k=1}^n a_{ik} (-1)^{i+k}M_{ik}.$

По определению 14.7 алгебраического дополнения получим $ {(-1)^{i+k} M_{ik}=A_{ik}}$ . Тогда из предыдущего равенства вытекает

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik},$

что и требовалось доказать.   

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции