Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Алгоритм создания нулей в столбце.
Пусть требуется вычислить определитель матрицы $ A$ порядка $ n$ . Если $ {a_{11}=0}$ , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель $ A$ , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица $ A$ имеет нулевой столбец и по  предложениям 14.11, 14.18 ее определитель равен нулю.
Итак, считаем, что уже в исходной матрице $ {a_{11}\ne0}$ . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . Тогда первый элемент второй строки будет равен
$\displaystyle a_{21}^{(1)}=a_{21}+a_{11}\left(-\frac{a_{21}}{a_{11}}\right)=0.$
Остальные элементы новой второй строки обозначим $ a_{2k}^{(1)}$ , $ {k=2,3,\ldots,n}$ . Определитель новой матрицы по  предложению 14.14 равен $ \vert A\vert$ .
Первую строку умножим на число $ \left(-\dfrac{a_{31}}{a_{11}}\right)$ и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен
$\displaystyle a_{31}^{(1)}=a_{31}+a_{11}\left(-\frac{a_{31}}{a_{11}}\right)=0.$ Составить Математика решение задач канонические уравнения прямой , проходящей через точку  параллельно прямой : Аналитическая геометрия
Остальные элементы новой третьей строки обозначим $ a_{3k}^{(1)}$ , $ {k=2,3,\ldots,n}$ . Определитель новой матрицы по  предложению 14.14 равен $ \vert A\vert$ .
Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число $ \left(-\dfrac{a_{n1}}{a_{11}}\right)$ и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее $ A^{(1)}$ , которая имеет вид
$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1... ...ots&\dots\\ 0&a_{n2}^{(1)}&a_{n3}^{(1)}&\dots&a_{nn}^{(1)}\end{array}\right),$
причем $ \vert A\vert=\vert A^{(1)}\vert$ . Для вычисления определителя матрицы $ A^{(1)}$ используем разложение по первому столбцу
$\displaystyle \vert A\vert=\vert A^{(1)}\vert=a_{11}A_{11}^{(1)}+0\cdot A_{21}^{(1)}+\ldots+0\cdot A_{n1}^ {(1)}.$ Оценить сходимость несобственного интеграла   при различных значениях .
Так как $ (-1)^{1+1}=1$ , то
$\displaystyle \vert A\vert=a_{11}\left\vert\begin{array}{cccc}a_{22}^{(1)}&a_{2... ...s&\dots\\ a_{n2}^{(1)}&a_{n3}^{(1)}&\dots&a_{nn}^{(1)}\end{array}\right\vert.$
В правой части стоит определитель матрицы порядка $ {n-1}$ . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы $ A$ сведется к вычислению определителя матрицы порядка $ {n-2}$ . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.     
Если матрица $ A$ не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма -- по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.
        Пример 14.6   Вычислите определитель матрицы
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 3&1&7&0\\ -4&-1&2&1\\ -6&7&1&-1\end{array}\right)$
.
Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\dfrac32$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}3&1&7&0\end{array}\right)+\left(-\dfrac3... ...ay}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&\dfrac52&\dfrac52&-3\end{array}\right).$
Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\left(\dfrac{-4}2\right)=2$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-4&-1&2&1\end{array}\right)+2\left(\begi... ...-1&3&2\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&-3&8&5\end{array}\right).$
Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\left(\dfrac{-6}2\right)=3$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-6&7&1&-1\end{array}\right)+3\left(\begi... ...-1&3&2\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&4&10&5\end{array}\right).$
Определитель не меняется. В результате получаем
$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 0& \phantom... ...\phantom{\dfrac52}\frac52&\frac52&-3\\ -3&8&5\\ 4&10&5\end{array}\right\vert.$
По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ {-\left(\dfrac{-3}{\left(\frac52\right)}\right)=\dfrac65}$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-3&8&5\end{array}\right)+\dfrac65\left(\b... ...2&-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&11&\dfrac75\end{array}\right).$
К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $ {-\left(\dfrac{4}{\left(\frac52\right)}\right)=-\dfrac85}$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}4&10&5\end{array}\right)-\dfrac85\left(\b... ...-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&6&\dfrac{49}5\end{array}\right).$
В результате получаем
\begin{multline*} \vert A\vert=2\left\vert\begin{array}{rrr}\phantom{\dfrac52}\... ...5\left(11\cdot\frac{49}5-6\cdot\frac75\right)=11\cdot49-42=497. \end{multline*}
Ответ. $ \vert A\vert=497$ .         
        Замечание 14.11   Внимательный читатель, наверное, отметил, что хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа -- целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.         

Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства. Понятие сингулярных интегралов.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)