Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Напомним, что дифференциал функции $ f(x)$ (называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка) задаётся формулой

$\displaystyle df(x;dx)=f'(x)dx.$

Рассмотрим это выражение (при фиксированном приращении $ dx$ аргумента $ x$) как функцию переменного $ x$ и найдём её дифференциал $ d(df(x;dx))=d^2f(x;dx)$:

$\displaystyle d^2f(x;dx)=(f'(x)dx)'dx=f''(x)(dx)^2.$

Этот дифференциал от первого дифференциала называется вторым дифференциалом от функции $ f(x)$, или дифференциалом второго порядка. Аналогично, дифференциал от второго дифференциала называется третьим дифференциалом; он задаётся формулой

$\displaystyle d^3f(x;dx)=(f''(x)(dx)^2)'dx=f'''(x)(dx)^3.$

Вообще, $ n$-й дифференциал $ d^nf(x;dx)$, или дифференциал $ n$-го порядка, определяется как дифференциал от $ (n-1)$-го дифференциала (при постоянном приращении $ dx$); для него имеет место формула:

$\displaystyle d^nf(x;dx)=f^{(n)}(x)(dx)^n.$
Математика решение задач Найти угол между прямой :  и плоскостью : Аналитическая геометрия

При $ n\geqslant 2$ $ n$-й дифференциал не инвариантен (в отличие от первого дифференциала), то есть выражение $ d^nf$ зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная $ x$ как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, $ x={\varphi}(t)$.

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высших порядков достаточно привести пример. Пусть $ n=2$ и $ f(x)=x^3$. Если $ x$ -- независимая переменная, то

$\displaystyle d^2y=d^2f(x;dx)=(x^3)''(dx)^2=6x(dx)^2.$(4.16)
 


Если же $ x={\varphi}(t)=t^2$, то $ dx=d{\varphi}(t;dt)={\varphi}'(t)dt=2tdt$, и тогда правая часть формулы (4.16) даёт:

$\displaystyle 6x(dx)^2=6t^2(2tdt)^2=24t^4(dt)^2.$

Однако при этом $ y=x^3=(t^2)^3=t^6$ и

$\displaystyle d^2y=(t^6)''(dt)^2=30t^4(dt)^2.$

Исследовать сходимость .

Исследовать сходимость интеграла .

Как видно, получилось не то же самое, что по формуле (4.16) с учётом зависимости $ {x=t^2}$. Следовательно, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Тем более, не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства. Понятие сингулярных интегралов.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)