Матрицы Обратная матрица Определение

        Определение 14.8 Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .
Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).
Обратная матрица для матрицы обозначается $A^{-1}$ . Таким образом, если $A^{-1}$ существует, то ${AA^{-1}=A^{-1}A=E}$ .
Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы $A^{-1}$ , то есть ${(A^{-1})^{-1}=A}$ . Про матрицы и $A^{-1}$ можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.
        Предложение 14.20 Если матрица имеет обратную, то ${\vert A\vert\ne0}$ и ${\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^{-1}}$ .
        Доказательство.     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей ( предложение 14.7), то ${\vert AA^{-1}\vert=\vert A\vert\vert A^{-1}\vert=\vert E\vert}$ . По следствию 14.1 ${\vert E\vert=1}$ , поэтому ${\vert A\vert\vert A^{-1}\vert=1}$ , что невозможно при ${\vert A\vert=0}$ . Из предыдущего равенства следует также ${\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^{-1}}$ .

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.
        Определение 14.9 Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если ${\vert A\vert=0}$ , и невырожденной или неособенной матрицей, если ${\vert A\vert\ne0}$ .
        Предложение 14.21 Если обратная матрица существует, то она единственна.
        Доказательство.     Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

$\displaystyle BAC=(BA)C=EC=C$ и $\displaystyle \quad BAC=B(AC)=BE=B.$
Следовательно, .

        Предложение 14.22 Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и

$\displaystyle A^{-1}=\frac1{\vert A\vert}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}... ...n2}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn}\end{array}\right),$

(14.14)

где $A_{ij}$ -- алгебраические дополнения к элементам $a_{ij}$ .
        Доказательство.     Так как для невырожденной матрицы правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой . Тогда нужно проверить, что и что . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично.
Пусть . Найдем элементы матрицы , учитывая, что ${b_{kj}=\dfrac{A_{jk}}{\vert A\vert}}$ :

$\displaystyle c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}=\sum_{k=1}^n a_{ik}\frac{A_{jk}}{\vert A\vert}= \frac1{\vert A\vert}\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}.$
Если $i\ne j$ , то по предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть ${c_{ij}=0}$ при ${i\ne j}$ .
Если , то

$\displaystyle c_{ii}=\frac1{\vert A\vert}\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}.$
Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы по -ой строке (предложение 14.16). Таким образом,

$\displaystyle c_{ii}=\frac1{\vert A\vert}\cdot \vert A\vert=1.$
Итак, в матрице диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть .

Результаты предложений 14.20, 14.21, 14.22 соберем в одну теорему.
        Теорема 14.1 Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14).
Заказать перевод

        Замечание 14.12 Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй -- номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции