Матрицы Обратная матрица Пример

Пример 14.7 Найдите обратную матрицу для матрицы ${A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$ .

Решение. Находим определитель

$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\... ...ray}\right\vert+0\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}\right\vert=8.$

Так как $\vert A\vert\ne0$ , то матрица

-- невырожденная, и обратная для нее существует.

Находим алгебраические дополнения:

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\left\vert\begin{array}{rr}4&2\\ 3&1\end{array}\... ..._{12}=(-1)^{1+2}\left\vert\begin{array}{rr}3&2\\ -1&1\end{array}\right\vert=-5,$

$\displaystyle A_{13}=(-1)^{1+3}\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}... ...A_{21}=(-1)^{2+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 3&1\end{array}\right\vert=2,$

$\displaystyle A_{22}=(-1)^{2+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ -1&1\end{array}... ...{23}=(-1)^{2+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ -1&3\end{array}\right\vert=-1,$

$\displaystyle A_{31}=(-1)^{3+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 4&2\end{array}... ...A_{32}=(-1)^{3+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ 3&2\end{array}\right\vert=-2,$

$\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ 3&4\end{array}\right\vert=10.$

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке:

$\displaystyle A^{-1}=\frac18\left(\begin{array}{rrr}-2&2&-4\\ -5&1&-2\\ 13&-1&10\end{array}\right).$

(14.15)

Полученная матрица и служит ответом к задаче.

Замечание 14.13 В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:

$\displaystyle A^{-1}= \left(\begin{array}{rrr}\phantom{\dfrac11}-\frac28&\frac... ...8&-\frac14\\ \phantom{\dfrac11}\frac{13}8&-\frac18&\frac54\end{array}\right).$

(14.16)

Однако запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, если элементы матриц -- целые числа. И наоборот, если элементы матрицы

-- десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя $\frac1{\vert A\vert}$ впереди.

Замечание 14.14 При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

Пример 14.8 Найдите обратную матрицу для матрицы ${A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\ -2&5\end{array}\right)}$ .

Решение.

$\displaystyle \vert A\vert=11\ne0\quad\Rightarrow\quad A^{-1}$ -- существует.

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot5=5,\quad A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot(-2)=2,$

$\displaystyle A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot3=-3,\quad A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot1=1.$

Ответ: $A^{-1}=\dfrac1{11}\left(\begin{array}{rr}5&-3\\ 2&1\end{array}\right)$ .

Нахождение обратной матрицы по формуле (14.14) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции