Матрицы Обратная матрица Пример

Пример 14.7 Найдите обратную матрицу для матрицы ${A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$ .

Решение. Находим определитель

$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\... ...ray}\right\vert+0\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}\right\vert=8.$

Так как $\vert A\vert\ne0$ , то матрица

-- невырожденная, и обратная для нее существует. Математика решение задач К кривым второго порядка относятся эллипс, гипербола, парабола. Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых. Аналитическая геометрия

Находим алгебраические дополнения:

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\left\vert\begin{array}{rr}4&2\\ 3&1\end{array}\... ..._{12}=(-1)^{1+2}\left\vert\begin{array}{rr}3&2\\ -1&1\end{array}\right\vert=-5,$

$\displaystyle A_{13}=(-1)^{1+3}\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}... ...A_{21}=(-1)^{2+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 3&1\end{array}\right\vert=2,$

$\displaystyle A_{22}=(-1)^{2+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ -1&1\end{array}... ...{23}=(-1)^{2+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ -1&3\end{array}\right\vert=-1,$

$\displaystyle A_{31}=(-1)^{3+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 4&2\end{array}... ...A_{32}=(-1)^{3+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ 3&2\end{array}\right\vert=-2,$

$\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ 3&4\end{array}\right\vert=10.$

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке: Интеграл Дирихле. Вычислить

$\displaystyle A^{-1}=\frac18\left(\begin{array}{rrr}-2&2&-4\\ -5&1&-2\\ 13&-1&10\end{array}\right).$

(14.15)

Полученная матрица и служит ответом к задаче.

Замечание 14.13 В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:

$\displaystyle A^{-1}= \left(\begin{array}{rrr}\phantom{\dfrac11}-\frac28&\frac... ...8&-\frac14\\ \phantom{\dfrac11}\frac{13}8&-\frac18&\frac54\end{array}\right).$

(14.16)

Однако запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, если элементы матриц -- целые числа. И наоборот, если элементы матрицы

-- десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя $\frac1{\vert A\vert}$ впереди.

Замечание 14.14 При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

Пример 14.8 Найдите обратную матрицу для матрицы ${A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\ -2&5\end{array}\right)}$ .

Решение.

$\displaystyle \vert A\vert=11\ne0\quad\Rightarrow\quad A^{-1}$ -- существует.

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot5=5,\quad A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot(-2)=2,$

$\displaystyle A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot3=-3,\quad A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot1=1.$

Ответ: $A^{-1}=\dfrac1{11}\left(\begin{array}{rr}5&-3\\ 2&1\end{array}\right)$ .

Нахождение обратной матрицы по формуле (14.14) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ