Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Пусть задана зависимость двух переменных $ x$ и $ y$ от параметра $ t$, изменяющегося в пределах от $ {\alpha}$ до $ {\beta}$:

$\displaystyle x={\varphi}(t); y=\psi(t); t\in({\alpha};{\beta}).$

Пусть функция $ x={\varphi}(t)$ имеет обратную: $ t={\varphi}^{-1}(x)=\Phi(x)$. Тогда мы можем, взяв композицию функций $ y=\psi(t)$ и $ t=\Phi(x)$, получить зависимость $ y$ от $ x$: $ y=\psi(\Phi(x))$. Зависимость величины $ y$ от величины $ x$, заданная через зависимость каждой из них от параметра $ t$ в виде $ x={\varphi}(t), y=\psi(t)$, называется функцией $ y=y(x)$, заданной параметрически.

Производную функции $ y(x)$, заданной параметрически, можно выразить через производные функций $ {\varphi}(t)$ и $ \psi(t)$: поскольку $ y=\psi(\Phi(x))$ и, по формуле производной обратной функции, $ \Phi'(x)=\dfrac{1}{{\varphi}'(\Phi(x))}$, то

$\displaystyle y'_x=\psi'(\Phi(x))\Phi'(x)= \dfrac{\psi'(\Phi(x))}{{\varphi}'(\Phi(x))}= \dfrac{y'_t(t)}{x'_t(t)},$ Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду Математика решение задач и построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой

где $ t=\Phi(x)$ -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение $ x$. Вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью   

Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между $ z=y'_x$ и $ x$, снова выраженной в виде параметрической зависимости: $ y'_x=z(t)$, $ x=x(t)$; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции $ y(x)$. Несмотря на то, что производная не выражена через $ x$ в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра $ t$. Покажем это на следующем примере.

        Пример 4.22   Пусть зависимость между $ x$ и $ y$ задана параметрически следующими формулами:
$\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$
Найдём уравнение касательной к графику зависимости $ y(x)$ в точке $ (\ln2;\frac{\pi}{4})$.
Значения $ x=\ln(1+t^2)=\ln2$ и $ y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t=\frac{\pi}{4}$ получаются, если взять $ t=1$. Найдём производные $ x$ и $ y$ по параметру $ t$:
$\displaystyle x'_t=(\ln(1+t^2))'_t=\dfrac{2t}{1+t^2}; y'_t=(\mathop{\rm arctg}\nolimits t)'_t=\dfrac{1}{1+t^2}.$
Поэтому
$\displaystyle y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{ \dfrac{1}{1+t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}}= \dfrac{1}{2t}.$
При $ t=1$ получаем значение производной
$\displaystyle y'_x\vert _{t=1}=\frac{1}{2};$
это значение задаёт угловой коэффициент $ k$ искомой касательной. Координаты $ x_0=\ln2$ и $ y_0=\frac{\pi}{4}$ точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково:
$\displaystyle y=y_0+k(x-x_0)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}(x-\ln2).$
    

Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости $ y'_x=z(t)$, $ x=x(t)$, мы можем отыскать вторую производную функции $ y$ по переменной $ x$:

$\displaystyle y''_{xx}=(y'_x)'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}.$
        Пример 4.23   Пусть дана та же зависимость между $ y$ и $ x$, что в предыдущем примере:
$\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$
Найдём выражение для второй производной $ y''_{xx}$ через параметр $ t$. Ранее мы получили, что $ y'_x=z(t)=\dfrac{1}{2t}$. Поэтому $ z'_t=-\dfrac{1}{2t^2}$; производную $ x'_t=\dfrac{2t}{1+t^2}$ мы нашли выше. Получаем:
$\displaystyle y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t} =\dfrac{-\dfrac{1}{2t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}} =-\dfrac{1+t^2}{4t^3}.$
    

Можно получить и явный вид производной второго порядка от параметрически заданной функции, если подставить $ z=\dfrac{y'_t}{x'_t}$ в формулу $ y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}$; при этом получим:

$\displaystyle y''_{xx}=\dfrac{\Bigl(\dfrac{y'_t}{x'_t}\Bigr)'_t}{x'_t}= \dfrac{y''_{tt}x'_t-x''_{tt}y'_t}{(x'_t)^3}.$(4.17)

Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства. Понятие сингулярных интегралов.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)

опера мини 4.4 на телефон
Тамада певец диджей tamada Vedushiy, большой опыт работы.
Интерком-Аудит due diligence due diligence.