Основные обозначения и определения Функции и их графики

 

Пример 1.3 Пусть $ A=\mathbb{R}, B=\mathbb{R}$ и отображение $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ задано при $ x\in\mathbb{R}$ формулой $ f(x)=x^3$. Тогда отображение $ f$ одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как
1) любое значение $ y\in\mathbb{R}$ есть значение $ x^3$ при некотором $ x$ (а именно, при $ x=\sqrt[3]{y}$);
2) никакие два разных значения $ x_1,x_2\in\mathbb{R}$ не могут дать одинаковых значений $ x_1^3=x_2^3$, так как из неравенства $ x_1<x_2$ следует неравенство $ x_1^3<x_2^3$.

Рис.1.3.Кубы разных чисел не совпадают

Заказать перевод

Определение 1.3 Отображение $ f:A\to B$, которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между $ A$ и $ B$, или биекцией. Это означает, что каждому элементу $ x\in A$ сопоставляется ровно один элемент $ y\in B$, причём для каждого элемента $ y\in B$ имеется такой элемент $ x\in A$, который сопоставлен этому $ y$.

Замечание 1.1 Если отображение $ f:A\to B$-- вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества $ A$ и множеством значений функции $ \mathcal{E}(f)$, то есть частью множества $ B$. Пусть $ \mathcal{E}(f)=B'$. Тогда функция $ f$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами $ A$ и $ B'$. (Более формально: функция $ f_1:A\to B'$, совпадающая с $ f$ при всех $ x\in A$,-- это биекция. В таких ситуациях, когда функции $ f$ и $ f_1$ имеют одну и ту же область определения $ A$ и их значения совпадают при всех $ x\in A$, мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае-- буквой $ f$.)

Рис.1.4.Множество $ \mathcal{D}(f)$ взаимно-однозначно отображается на множество $ \mathcal{E}(f)$



Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции