Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии


Введем еще одно очень важное понятие, которое используется не только в алгебре, но и во многих других разделах математики.

Определение 10.14 Система векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов $ {\alpha}_1,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_k$ , из которых хотя бы один отличен от нуля, что $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_k{\bf a}_k =0$ .

Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой. Но последнее определение лучше сформулировать по другому. ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Определение 10.15 Система векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ называется линейно независимой, если равенство $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_k{\bf a}_k =0$ возможно только при $ {\alpha}_1={\alpha}_2=\ldots={\alpha}_k=0$ .

Предложение 10.6 Система векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Доказательство. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов $ {\alpha}_1,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_k$ , что $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_k{\bf a}_k =0$ , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что $ {\alpha}_1\ne0$ . Тогда

$\displaystyle {\bf a}_1=\left(-\frac{{\alpha}_2}{{\alpha}_1}\right){\bf a}_2+\l... ...\right){\bf a}_3+\ldots+\left(-\frac{{\alpha}_k}{{\alpha}_1}\right){\bf a}_k\,,$
Корни уравнения Математика лекции примеры решения задач

то есть $ {\bf a}_1$ является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор $ {\bf a}_1$ , то есть $ {{\bf a}_1=\nu_2{\bf a}_2+\ldots+\nu_k{\bf a}_k}$ . Очевидно, что $ {-{\bf a}_1+\nu_2{\bf a}_2+ \ldots+\nu_k{\bf a}_k=0}$ . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен $ -1$ ).

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1. Геометрические векторы. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Определители второго и третьего порядка. Координатное выражение векторного и смешанного произведений.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)